Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol <math>\left[ x \right]</math> für die Abrundungsfunktion 1808 einführte.<ref>Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), “The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x).” The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009).</ref> Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen <math>\operatorname{floor}(x)</math> und <math>\lfloor x \rfloor</math> ( „Boden“) für die Gaußklammer sowie <math>\operatorname{ceil}(x)</math> und <math>\lceil x \rceil</math> (englisch ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.<ref>Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C): The terms Ceiling Function and Floor Function appear in Kenneth E. Iverson’s A Programming Language (1962, p. 12): “Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by <math>\lfloor x \rfloor</math> and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by <math>\lceil x \rceil</math> and defined as the smallest integer not exceeded by x.” This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009).</ref> Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation.<ref>Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5167-1, S. 115.</ref><ref>Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, 3. Auflage, 2013, ISBN 978-3-642-97622-3, S. 28.</ref> Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.<ref>Jürgen Groß: Grundlegende Statistik mit R: Eine anwendungsorientierte Einführung in die Verwendung der Statistik Software R. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1039-7, S. 33–34.</ref>

Zeichensatz

Die Zeichen für die Abrundungs- und Aufrundungsfunktion sind weiterentwickelte eckige Klammern und können in den verschiedenen Umgebungen folgendermaßen kodiert werden:

	LEFT FLOOR	⌊		U+230A	(HTML ⌊	⌊)
	RIGHT FLOOR	⌋		U+230B	(HTML ⌋	⌋)
	LEFT CEILING	⌈		U+2308	(HTML ⌈	⌈)
	RIGHT CEILING	⌉		U+2309	(HTML ⌉	⌉)

Im Textsatzsystem LaTeX können diese Zeichen im math-Modus als \lfloor, \rfloor, \lceil und \rceil oder seit 2018 auch direkt als Unicode-Zeichen angegeben werden.<ref>Vorlage:Cite book/Name: [ LaTeX News, Issue 28.] (PDF; 379 KB) The LaTeX Project, , archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am Vorlage:Cite book/URL; abgerufen am 27. Juli 2024 (). Vorlage:Cite book/URLVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/Meldung2Vorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/Meldung</ref>

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer

Datei:Floor function.svg

Graph der Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

Definition

Für eine reelle Zahl <math>x</math> ist <math>\lfloor x \rfloor</math> die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich <math>x</math> ist:

<math>\lfloor x \rfloor := \max \{k\in\Z \mid k \leq x\}</math>

Beispiele

• <math>\lfloor 2{,}8 \rfloor = 2</math>
• <math>\lfloor -2{,}8 \rfloor = -3</math>

  Man beachte, dass <math>\lfloor -2{,}8 \rfloor</math> nicht etwa gleich <math>-2</math> ist. Die Definition verlangt ja <math>\lfloor x \rfloor \le x</math>, und es ist <math>-2 > -2{,}8</math>.

• <math>\lfloor -2{,}2 \rfloor = -3</math>
• <math>\lfloor 2 \rfloor = 2</math>

Eigenschaften

• Für alle <math>k \in \Z, x \in \R</math> gilt

  <math>k \leq \lfloor x \rfloor \Longleftrightarrow k \leq x</math>.

• Es gilt immer <math>\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor+1</math>. Dabei ist <math>\lfloor x \rfloor = x </math> genau dann, wenn <math>x</math> eine ganze Zahl ist.
• Für jede ganze Zahl <math>k</math> und jede reelle Zahl <math>x</math> gilt

  <math>\lfloor x+k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k</math>.

• Für alle reellen Zahlen <math>x, y</math> gilt

  <math>\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x+y \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1</math>.

• Für jede ganze Zahl <math>k</math> und jede natürliche Zahl <math>n</math> gilt

  <math>\left\lfloor \frac{k}{n} \right\rfloor \ge \frac{k-n+1}{n}</math>.

• Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt

  <math>\bigl\lfloor \lfloor x \rfloor \bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor</math>.

• Sind <math>m</math> und <math>n</math> teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt

  <math>\sum_{j=1}^{n-1} \left \lfloor \frac{jm}{n} \right \rfloor = \frac{(m-1)(n-1)}{2}</math>.

• Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.
• Für nichtganze reelle <math>x</math> konvergiert die Fourierreihe der <math>1</math>-periodischen Funktion <math>\lfloor x \rfloor-x</math>, und es gilt

  <math>\lfloor x \rfloor = x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{(2k\pi x)}}{k}</math>.

• Sind <math>m \in \Z</math> und <math>n \in \N</math>, so gilt
  <math>\left\lfloor \frac{x+m}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\lfloor x \rfloor +m}{n} \right\rfloor</math>.
  Daraus folgt für <math>m \neq 0</math> direkt
  <math>\left\lfloor \frac{\lfloor x/m \rfloor}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{mn} \right\rfloor</math>.
• Für reelle Zahlen <math>x, y \geq 0</math> gilt außerdem
  <math>\lfloor x \rfloor \cdot \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x \cdot y \rfloor</math>.

Programmierung

Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie Int, Round, Ceil/Ceiling, Floor oder entier um.

Aufrundungsfunktion

Datei:Ceiling function.svg

Graph der Aufrundungsfunktion

Definition

Für eine reelle Zahl <math>x</math> ist <math>\lceil x \rceil</math> die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich <math>x</math> ist.

<math>\lceil x \rceil := \min \{k\in\Z \mid k \ge x\}</math>

Beispiele

• <math>\lceil 2{,}8 \rceil = 3</math>
• <math>\lceil 2{,}3 \rceil = 3</math>
• <math>\lceil -2{,}8 \rceil = -2</math>
• <math>\lceil 2 \rceil = 2</math>

Eigenschaften

• Es gilt

  <math>\lceil \lceil x \rceil \rceil = \lceil x \rceil</math>.

• Sind <math>m \in \Z</math> und <math>n \in \N</math>, so gilt

  <math>\left\lceil \frac{x+m}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{\lceil x \rceil +m}{n} \right\rceil</math>.

• Daraus folgt für <math>m \neq 0</math> direkt

  <math>\left\lceil \frac{\lceil x/m \rceil}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{x}{mn} \right\rceil</math>.

Programmierung

Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie ceil() oder ceiling um.

Allgemeine Eigenschaften

Gaußklammer und Dezimalstellen

Für positive Zahlen gilt

<math>x = \lfloor x \rfloor + \operatorname{frac} (x)</math>.

Die Funktion <math>\operatorname{frac} (x)</math> liefert dabei den Nachkommaanteil mit <math>0 \leq \operatorname{frac} (x) < 1</math>.

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion

• Es ist stets
  <math>\lceil x \rceil + \lfloor -x \rfloor = 0</math>.
  Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per
  <math>\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor</math>.
• Es ist stets
  <math>\left\lceil x \right\rceil \leq y \Longleftrightarrow x \leq \left\lfloor y \right\rfloor</math>,
  <math>\left\lfloor x \right\rfloor < y \Longleftrightarrow x < \left\lceil y \right\rceil</math>.
• Für ganze Zahlen <math>k</math> gilt
  <math>\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil = k</math>.
• Für reelle Zahlen <math>x,y</math> mit <math>y \ne 0</math> gilt
  <math>\left\lceil \frac{x+1}{y} \right\rceil - \left\lfloor \frac{x}{y} \right\rfloor = 1</math>.

Kaufmännische Rundung

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

• <math>\lfloor x + 0{,}5 \rfloor</math> für <math>x \ge 0</math>,
• <math>\lceil x - 0{,}5 \rceil</math> für <math>x < 0</math>.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Floor Function. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Ceiling Function. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

<references />