Fredholmsche Alternative

In der Mathematik ist die nach Erik Ivar Fredholm benannte Fredholmsche Alternative ein Resultat der Fredholmtheorie. Sie kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden: als Theorem der linearen Algebra, als ein Theorem über Integralgleichungen oder als ein Theorem über Fredholm-Operatoren. Insbesondere besagt es, dass eine komplexe Zahl ungleich 0 im Spektrum eines kompakten Operators ein Eigenwert ist.

Version der linearen Algebra

In einem <math>n</math>-dimensionalen Vektorraum <math>V</math> gilt für eine lineare Abbildung <math>A\colon V\to V</math> genau eine der folgenden Aussagen:

Zu jedem Vektor <math>v</math> in <math>V</math> gibt es einen Vektor <math>u</math> in <math>V</math> so, dass <math>Au=v</math>. Mit anderen Worten: <math>A</math> ist surjektiv.
Es gibt ein <math>u \neq 0</math> in <math>V</math> mit <math>A u = 0 </math>, das heißt: <math>A</math> ist nicht injektiv.

Fredholmsche Integralgleichungen

Sei <math>K(x,y)</math> ein Integralkern. Betrachte die homogene Fredholmsche Integralgleichung,

<math>\lambda \phi(x)- \int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = 0</math>,

sowie die inhomogene Gleichung

<math>\lambda \phi(x) - \int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = f(x)</math>.

Die Fredholmsche Alternative besagt nun, dass für eine komplexe Zahl <math>0 \neq \lambda \in \mathbb{C}</math>, entweder die erste Gleichung eine nichttriviale Lösung hat, oder die zweite Gleichung eine Lösung für beliebige rechte Seiten <math>f(x)</math> besitzt.

Eine hinreichende Bedingung, damit dieser Satz gilt, ist die Quadratintegrierbarkeit von <math>K(x,y)</math> auf dem Rechteck <math>[a,b]\times[a,b]</math> (wobei a und/oder b auch plus oder minus unendlich sein dürfen).

Fredholmsche Alternative

Aussage

Sei <math>K \in K(X)</math> ein kompakter Operator auf <math>X</math> und sei <math>\lambda \in \Complex</math> mit <math>\lambda \neq 0</math>. Dann ist <math>Tx := \lambda x - Kx</math> ein Fredholm-Operator mit Fredholm-Index 0. Die Fredholmsche Alternative lautet nun:

Entweder haben sowohl die homogene Gleichung

<math>\lambda x - Kx = 0</math>

als auch die adjungierte Gleichung

<math>\lambda x' - K' x' = 0</math>

nur die triviale Lösung Null und somit sind die inhomogenen Gleichungen

<math>\lambda x - K x = y</math>

und

<math>\lambda x' - K' x' = y'</math>

eindeutig lösbar,

oder die homogene Gleichung

<math>\lambda x - Kx = 0</math>

und die adjungierte Gleichung

<math>\lambda x' - K' x' = 0</math>

besitzen genau <math>n = \dim \ker(\lambda \operatorname{id}- K) < \infty</math> linear unabhängige Lösungen (wobei <math>\operatorname{id}</math> die identische Abbildung bezeichnet) und somit wäre die inhomogene Gleichung

<math>\lambda x - K x = y</math>

genau dann lösbar, wenn <math>y \in (\ker(\lambda \operatorname{id}- K'))^\bot</math> gilt.

Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen

Beachte, dass die Delta-Distribution die Identität der Faltung ist. Sei <math>X</math> ein Banachraum, beispielsweise <math>X=L^2([a,b])</math> und sei <math>T \colon X \to X</math> ein Fredholm-Operator, welcher durch

<math>T\phi(x)= \int_a^b \lambda \delta(x-y)\phi(y) - k(x,y)\phi(y) dy = \lambda \phi(x) - \int_a^b k(x,y)\phi(y) dy,</math>

definiert ist, wobei <math>k \in L^2([a,b])</math> gelten muss, um einen Fredholm-Operator zu erhalten. Dann ist <math>\textstyle \int_a^b k(x,y)\phi(y) dy</math> ein kompakter Operator und man sieht, dass diese Aussage die Aussage über die Fredholmschen Integralgleichungen verallgemeinert.

Die Fredholmsche Alternative kann man dann wie folgt formulieren: Ein <math>\lambda \neq 0</math> ist entweder ein Eigenwert von <math>K</math> oder es liegt in der Resolventenmenge

<math>\rho(K)= \{ \lambda \in \mathbb C : (\lambda \operatorname{id}-K) \text{ beschränkt invertierbar} \}</math>.

Literatur

Paul Mönnig: Die praktische Auflösung der fredholm’schen Integralgleichung mit symmetrischem Produktkern, Braunschweig 1947. Reihe: Veröffentlichungen d. Math. Inst. d. Techn. Hochsch. Braunschweig, 1947,4 (nicht in DNB nachgewiesen)
Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6.