Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit <math>(M,g)</math> heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante <math> \lambda</math> existiert, so dass

<math>\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y)</math>

gilt. Dabei ist <math>\operatorname{Ric}_p</math> der (0,2)-Ricci-Tensor und <math>X,Y \in T_pM</math> für jedes <math>p \in M.</math> Die pseudo-riemannsche Metrik <math>g</math> heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

• Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen <math>n \geq 4</math> von eigenständigem Interesse, da sie für <math>n = 2</math> und <math>n = 3</math> mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.

• Sei <math>n \geq 3.</math> Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes <math>p \in M</math> eine Konstante <math>\lambda_p</math> (in Abhängigkeit von <math>p\,</math>) existiert, so dass

<math>\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda_p \,g_p(X,Y)</math>

gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier <math>\lambda_p</math> vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.

• Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante <math>\lambda</math> haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante <math>\lambda</math>.

• Die Definition der Einsteinmetrik <math>g</math> ergibt sich aus der Aussage, dass <math>g</math> eine Lösung der Lambdavakuumgleichungen

<math>\operatorname{Ric}_p(X,Y) - \frac{1}{2}\,g_p(X,Y)\,s_p + g_p(X,Y)\,\Lambda = 0 </math>

mit der kosmologischen Konstante <math>\Lambda</math> und der Skalarkrümmung <math>s_p</math> ist. Durch Spurbildung in der Gleichung <math>\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y)</math> erhält man

<math>s_p = n \lambda,</math>

dabei bezeichnet <math>n\,</math> die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).