club-Menge

Als club-Menge wird in der Mengenlehre eine Teilmenge einer Limesordinalzahl bezeichnet, die abgeschlossen und unbeschränkt (engl. closed und unbounded) ist.

Definition

Sei <math>\lambda</math> eine Limesordinalzahl. Eine Teilmenge <math>x\subseteq\lambda</math> heißt

• abgeschlossen, wenn für jede Folge <math>\langle\alpha_\xi \in x \mid\xi<\mu\rangle</math> aus <math>x</math> gilt:

  <math>\lim_{\xi\to\mu}\alpha_\xi=\delta\in\lambda\Rightarrow\delta\in x,</math>

• unbeschränkt, wenn für alle <math>\alpha\in\lambda</math> ein <math>\beta\in x</math> existiert mit <math>\alpha\leq\beta</math>.

<math>x</math> heißt club-Menge, falls <math>x</math> sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist.

Beispiele

Für <math>\lambda=\omega</math> ist die Bedingung der Abgeschlossenheit trivialerweise erfüllt, weil es keine Limesordinalzahlen unter <math>\omega</math> gibt; club-Mengen von <math>\omega</math> sind also lediglich unbeschränkte, d. h. unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Fasst man <math>\lambda</math> und die Klasse der Ordinalzahlen <math>\operatorname{Ord}</math> mittels der Ordnungstopologie als topologische Räume auf, so ist das Bild jeder stetigen, monoton steigenden Funktion <math>f\colon \lambda\to\operatorname{Ord}</math> eine club-Menge.

Der club-Filter

Ist die Konfinalität der Limesordinalzahl <math>\lambda</math> überabzählbar, <math>\operatorname{cf}\lambda>\omega</math>, so ist der Schnitt zweier club-Mengen wieder eine club-Menge. Setzt man <math>\mathcal{C}_\lambda=\{x\subseteq\lambda\mid\exists C\subseteq x \ C\text{ club}\}</math>, so bildet <math>\mathcal{C_\lambda}</math> also einen Filter, den club-Filter. Er hat unter anderem folgende Eigenschaften:

• <math>\mathcal{C}_\lambda</math> ist <math>\operatorname{cf}\lambda</math>-vollständig: Ist <math>\gamma\in\operatorname{cf}\lambda</math> und <math>C_\alpha\in\mathcal{C}_\lambda</math> für <math>\alpha\in\gamma</math>, so gilt

  <math>\textstyle\bigcap\limits_{\alpha\in\gamma} C_\alpha\in\mathcal{C}_\lambda.</math>

• Ist <math>\lambda</math> eine reguläre Kardinalzahl, so ist <math>\mathcal{C}_\lambda</math> abgeschlossen gegenüber sogenannten diagonalen Schnitten: Ist <math>\langle C_\alpha\mid\alpha\in\lambda\rangle</math> eine Familie von club-Mengen aus <math>\mathcal{C}_\lambda</math>, so ist

  <math>\textstyle\bigtriangleup_{\alpha\in\lambda}C_\alpha:=\lbrace\beta\in\lambda\mid\beta\in\bigcap_{\alpha\in\beta}C_\alpha\rbrace\in\mathcal{C}_\lambda.</math>

Das zu <math>\mathcal{C}_\lambda</math> duale Ideal, definiert durch <math>\mathcal{I}_\lambda=\{D\subseteq\lambda\mid\lambda\setminus D\in\mathcal{C}_\lambda\}</math>, wird als Ideal der dünnen Teilmengen bezeichnet.

Eine Menge <math>S\subseteq\lambda</math> heißt stationär, falls sie nicht dünn ist, also <math>S\notin\mathcal{I}_\lambda</math> gilt. Eine Menge ist genau dann stationär, wenn ihr Schnitt mit jeder club-Menge nicht leer ist.

Siehe auch

• Satz von Fodor
• Reflexionsprinzip (Mengenlehre)

Literatur

• Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.