Auflösung (Blockplan)

Eine Auflösung<ref name="BP">Beutelspacher (1982)</ref> eines 2-Blockplanes (einer speziellen Inzidenzstruktur) ist in der endlichen Geometrie eine Verallgemeinerung des Parallelismus von Blockplänen. So ist die Partition der Menge der d-dimensionalen Unterräume als Blöcke einer affinen Geometrie <math>AG_d(n,q)</math> in Parallelenscharen eine 1-Auflösung dieser Geometrie als 2-Blockplan. Ein Blockplan, der eine Auflösung zulässt, heißt auflösbarer Blockplan,<ref name="BP" /> zerfällt bei dieser Auflösung die Blockmenge in eine maximale Anzahl c von verallgemeinerten Parallelen-Scharen, dann spricht man von einer starken Auflösung<ref name="BP" /> und nennt den Blockplan stark auflösbar.<ref name="BP" />

Definitionen

• Sei <math>\mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I)</math> ein <math>2-(v,k,\lambda)</math>-Blockplan. Eine Auflösung von <math>\mathcal{I}</math> ist eine Partition der Blockmenge <math>\mathfrak{B}</math> von <math>\mathcal{I}</math> in Scharen <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math>, so dass es positive ganze Zahlen <math>\{ \rho_1,\ldots,\rho_c\}</math> gibt mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt in <math>\mathfrak{p}</math> auf genau <math>\rho_i</math> Blöcken von <math>\mathfrak{B}_i</math> liegt. Die Zahlen <math>\rho_1,\ldots,\rho_c</math> heißen die Parameter der Auflösung. Sind alle Parameter einer Auflösung gleich <math>\rho</math>, so spricht man von einer <math>\rho</math>-Auflösung.
• Ein Blockplan heißt auflösbar bzw. <math>\rho</math>-auflösbar, wenn er eine Auflösung bzw. eine <math>\rho</math>-Auflösung besitzt.
• Ist <math>\mathcal{I}</math> ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen und gilt <math>b+1 = v+c</math>, dann wird diese Auflösung starke Auflösung des Blockplanes und der Blockplan stark auflösbar genannt.
• Sind <math>B,C\in\mathfrak{B}_i</math> zwei Blöcke eines auflösbaren Blockplanes in derselben Klasse <math>\mathfrak{B}_i</math>, dann schreibt man auch <math>B\parallel C</math> und nennt die Blöcke parallel bezüglich der Auflösung. Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke.
• Für eine Auflösung <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> setzt man <math>m_i=|\mathfrak{B}_i|, 1\leq i\leq c</math> für die Anzahl der Blöcke in der Schar <math>\mathfrak{B}_i</math>.

Eigenschaften

Sei <math>\mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I)</math> ein <math>2-(v,k,\lambda)</math>-Blockplan, der eine Auflösung <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> mit den Parametern <math>\rho_1,\ldots,\rho_c</math> besitzt. Dann gilt<ref>Beutelspacher (1982), Lemma 5.1.1</ref>

1. <math>m_i\cdot k = v\cdot \rho_i,\quad (1\leq i\leq c),</math>
2. <math>\rho_1+\cdots+\rho_c=r,\quad m_1+\cdots+m_c=b,</math>
3. Besitzt <math>\mathcal{I}</math> eine <math>\rho</math>-Auflösung, so ist k ein Teiler von <math>v\cdot \rho</math> und jede Klasse hat dieselbe Anzahl m von Blöcken.

• Ist <math>\mathcal{I}</math> ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen, dann ist <math>b+1\geq v+c</math>.<ref>Beutelspacher (1982), Korollar 5.1.2</ref> Eine starke Auflösung ist also eine Auflösung mit der für die Blockmenge <math>\mathfrak{B}</math> von <math>\mathcal{I}</math> größtmöglichen Anzahl an Scharen.

Satz von Hughes und Piper über starke Auflösungen

• Der folgende Satz von Hughes und Piper<ref>Hughes, Piper (1976); Beutelspacher (1982), Hauptsatz 5.1.9</ref> charakterisiert die starken Auflösungen:

Sei <math>\mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I)</math> ein <math>2-(v,k,\lambda)</math>-Blockplan mit b Blöcken, der eine Auflösung <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> besitzt. Dann gilt <math>b+1\geq v+c</math> und Gleichheit genau dann, wenn es zwei nichtnegative Zahlen <math>\mu_I</math> („innere Schnittzahl“) und <math>\mu_A</math> („äußere Schnittzahl“) mit folgenden Eigenschaften gibt:

• Je zwei verschiedene Blöcke derselben Klasse haben stets genau <math>\mu_I</math> Schnittpunkte und
• je zwei Blöcke aus verschiedenen Klassen haben stets genau <math>\mu_A</math> Schnittpunkte.

Satz von Beker über auflösbare 3-Blockpläne

• Der Satz von Beker<ref>Beker (1977)</ref> klärt die Frage, wann ein stark auflösbarer Blockplan ein 3-Blockplan ist:

Die stark auflösbaren 3-Blockpläne sind genau die Hadamard 3-Blockpläne.<ref>Beutelspacher (1982), Satz 5.1.10</ref>

Beispiele

• Jeder Blockplan <math>\mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I)</math> besitzt die triviale Auflösung <math>\{\mathfrak{B}\}</math>, d. h. jeder Blockplan ist r-auflösbar. – Die Zahl <math>r=b_1</math> gibt bei einem Blockplan an, mit wie vielen Blöcken ein beliebiger Punkt inzidiert.
• Ist <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> eine Auflösung von <math>\mathcal{I}</math>, dann erhält man wieder eine Auflösung von <math>\mathcal{I}</math>, wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt. Zum Beispiel sind <math>\{\mathfrak{B}_1\cup\mathfrak{B}_2,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> und <math>\{\mathfrak{B}_1\cup\ldots\cup\mathfrak{B}_{c-1},\mathfrak{B}_c\}</math> wieder Auflösungen von <math>\mathcal{I}</math>.
• Ein Blockplan ist genau dann 1-auflösbar, wenn er einen Parallelismus besitzt. Die Auflösung <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt <math>c=r=b_1</math>, die innere Schnittzahl ist dann <math>\mu_I=0</math>, die äußere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein.

• Speziell ist eine affine Geometrie <math>AG_d(n,q)</math> mit ihrem gewöhnlichen Parallelismus 1-auflösbar und es gilt dann <math>m_i=b/r</math>, das heißt die Anzahl der Parallelen in jeder Schar ist gleich, die äußere Schnittzahl ist konstant, falls <math>d=n-1</math>, also die Blockmenge die Menge der Hyperebenen des Raumes ist.
• Jeder affine Blockplan ist durch seinen Parallelismus 1-auflösbar, auch hier ist <math>m_i=b/r</math> für jede Parallelenschar gleich.

Verallgemeinerung: Taktische Zerlegung

Jede Auflösung eines 2-Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle taktische Zerlegung dieses Blockplanes. Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes „Auflösung eines Blockplanes“ wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in (verallgemeinerte Parallelen-)Scharen auch die Punktmenge in mehrere „Punktklassen“ zerlegt.

Literatur

Artikel zu Einzelfragen

• Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: On resolutions and Bose’s theorem. In: Geom. Dedicata. Band 5, 1976, S. 129–133, doi:10.1007/BF00148147. 
• Henry Beker: On strong tactical decompositions. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 16, 1977, S. 191–196 (Abstract [abgerufen am 2. Mai 2013]). 

Lehrbücher

• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. Blockpläne. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich / New York 1982, ISBN 3-411-01632-9, Kapitel 5. Auflösungen und Zerlegungen, S. 196–240. 
• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1986, ISBN 0-521-33334-2. 
• D. R. Hughes, F. C. Piper: Projective planes. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1973 (Hier wird die Auflösbarkeit nur für die Spezialfälle der affinen Geometrien definiert und untersucht.). 

Einzelnachweise

<references />