Kranzprodukt
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Das Kranzprodukt (engl. wreath product) ist ein Begriff aus der Gruppentheorie und bezeichnet ein spezielles semidirektes Produkt von Gruppen.
Definition
Sind <math>G</math> und <math>J</math> Gruppen und operiert <math>J</math> auf einer Menge <math>Y</math>, so wird dadurch eine Operation von <math>J</math> auf <math>G^Y</math> (der Gruppe aller Abbildungen von <math>Y</math> nach <math>G</math> mit punktweiser Verknüpfung) induziert durch:
- <math>\forall j\in J, f\in G^Y: (^jf)(y)=f(^{j^{-1}}y)</math>
Jedes <math>j\in J</math> definiert auf diese Weise einen Automorphismus von <math>G^Y</math>.
Somit kann das Kranzprodukt <math>G \wr_Y J</math> als das semidirekte Produkt aus <math>G^Y</math> und <math>J</math> bezüglich ebendieser Operation definiert werden. Manchmal betrachtet man auch das eingeschränkte Kranzprodukt. Dieses erhält man, indem man statt der Gruppe aller Abbildungen von <math>Y</math> nach <math>G</math> nur die Untergruppe der Abbildungen betrachtet, die fast überall verschwinden.
Eigenschaften
Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten: <math>\left|G \wr_Y J\right|=\left|G\right|^{\left|Y\right|}\cdot\left|J\right|</math>
Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt <math>G \wr_J J</math> definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge <math>\{1,...,n\}</math> festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.
Operationen
Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von <math>G \wr_Y J</math> auf <math>X\times Y</math> induziert:
- <math>\forall (x,y)\in X\times Y, (f,j)\in G \wr_Y J: ^{(f,j)}(x,y):=(^{f(^jy)}x,^jy)</math>
Diese Operation ist genau dann treu/transitiv, wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.
Gruppenerweiterungen
Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.
Gegeben ist also eine exakte Sequenz
- <math>1\longrightarrow N \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iota}\ \, H \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\pi}\ \, Q \longrightarrow 1</math>
Außerdem sei eine Abbildung <math>q \colon H\to H</math> gegeben, die <math>\forall g\in H:q(g)\iota(N)=g\iota(N)</math> erfüllt und jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zuordnet. Weiterhin muss gelten <math>\forall g\in H:q(g^{-1})=q(g)^{-1}</math>. (Ist N unendlich, so ist eine solche Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)
Die Einbettung <math>\phi \colon H\hookrightarrow N\wr_Q Q</math> (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:
- <math>\phi(h):=(\sigma_h,\pi(h))\,</math>
Hierbei ist <math>\sigma_h \colon Q\to N</math> wie folgt definiert:
- <math>\sigma_h(yN):=\iota^{-1}(q(y^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))</math>
Diese Einbettung geht zurück auf L. Kaloujnine und M. Krasner.<ref>"Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes", L. Kaloujnine, M. Krasner - I, Acta Sci. Math. Szeged, 1950</ref>
Beispiele
Die p-Sylow-Gruppen der symmetrischen Gruppe <math>S_n</math> lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.
Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch <math>W_{p,0}:=\{1\}</math> und <math>W_{p,n+1}:=W_{p,n} \wr_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Z}_p</math>, wobei die Operation von <math>J=\mathbb{Z}_p</math> auf <math>Y=\mathbb{Z}_p</math> durch Linksmultiplikation gegeben ist.
Stellt man n zur Basis p dar, d. h. als Summe <math>\sum_{i=0}^{k}{c_ip^i}</math> mit <math>c_i\in\{0,...,p-1\}</math>, so sind die p-Sylow-Gruppen von <math>S_n</math> dann isomorph zu <math>\prod_{i=0}^{k}{W_{p,i}^{c_i}}</math>
Zum Symbol
Die senkrechte Tilde, die für das Kranzprodukt verwendet wird, befindet sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren auf Position U+2240<ref name="ff2240">Unicode Character 'WREATH PRODUCT' (U+2240), fileformat.info</ref>, in TeX und LaTeX kann es mit \wreath bzw. \wr dargestellt werden.
Literatur
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Quellen
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