Beth-Funktion

Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als <math>\beth</math> geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.

Definition

Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl <math>\alpha</math> eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl <math>\beth_\alpha</math> zu:<ref>Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kapitel I.5, S. 55.</ref>

<math>\beth_0 = \aleph_0</math>, wobei <math>\aleph_0</math> die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.
<math>\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha}</math> für Nachfolger-Ordinalzahlen <math>\alpha+1</math>. Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.
<math>\beth_\lambda = \sup_{\alpha < \lambda} \beth_\alpha</math> für Limes-Ordinalzahlen <math>\lambda</math>.

Bemerkungen

Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit <math>\aleph_1 = \beth_1</math>, denn <math>\beth_1</math> ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum <math>\R</math>. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu <math>\aleph = \beth</math>, das heißt <math>\aleph_\alpha = \beth_\alpha</math> für alle Ordinalzahlen <math>\alpha</math>.

Eine Limes-Kardinalzahl <math>\kappa</math> heißt ein starker Limes, wenn <math>\mu^\lambda < \kappa</math> für alle Kardinalzahlen <math>\lambda, \mu < \kappa</math>. Eine Kardinalzahl <math>\kappa</math> ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn <math>\kappa = \beth_\xi</math> für eine Limes-Ordinalzahl <math>\xi</math> ist.<ref>W. Wistar Comfort, Stylianos Negrepontis: The Theory of Ultrafilters (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 211). Springer, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06604-7, Lemma 1.23.</ref>

Es gilt <math>\alpha \le \aleph_\alpha \le \beth_\alpha</math> für alle Ordinalzahlen <math>\alpha</math>. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen <math>\alpha</math>, für die <math>\alpha = \beth_\alpha</math> gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge <math>\beth_0, \beth_{\beth_0}, \beth_{\beth_{\beth_0}}, \ldots</math>, der informal als <math>\beth_{\beth_{{}_\ddots}}</math> dargestellt wird. Ebenso sind stark unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Beth-Funktion.

Einzelnachweise