Perfekte Gruppe

2024-03-01T14:05:31Z

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In der Mathematik bezeichnet man als '''perfekte Gruppen''' diejenigen [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], die mit ihrer [[Kommutatorgruppe]] identisch sind.

Eine Gruppe <math>G</math> ist demnach perfekt, wenn <math>G=[G,G]</math> gilt, wobei <math>[G,G]</math> die Kommutatorgruppe bezeichnet. Früher wurden perfekte Gruppen auch als vollkommene Gruppen bezeichnet.

== Eigenschaften ==

Hinweis: Die hier vorgestellten Eigenschaften beziehen sich auf nicht [[Triviale Gruppe|triviale]] perfekte Gruppen.

[[Faktorgruppe]]n perfekter Gruppen sind perfekt. Da jede kommutative Faktorgruppe die Kommutatorgruppe herausfaktorisiert, besitzen perfekte Gruppen keine nicht trivialen [[Abelsche Gruppe|abelschen]] Faktorgruppen. Perfekte Gruppen sind also höchstgradig nicht abelsch, da die Kommutatorgruppe der kleinste [[Normalteiler]] ist, sodass die zugehörige Faktorgruppe abelsch ist. Insbesondere sind perfekte Gruppen daher nicht [[auflösbare Gruppe|auflösbar]] und besitzen somit auch keine auflösbaren Faktorgruppen.

== Beispiele ==

Die [[Alternierende Gruppe|alternierenden Gruppen]] <math>A_n</math> sind perfekt für <math>n \geq 5</math>, denn sie sind sogar [[Endliche einfache Gruppe|einfach]], besitzen also keine nicht-trivialen Normalteiler, und sie sind nicht abelsch, also ist die Kommutatorgruppe die gesamte Gruppe. Da die Kommutatorgruppe <math>[A_4,A_4]</math> mit der [[Kleinsche Vierergruppe|kleinschen Vierergruppe]] <math>V</math> identisch ist, ist <math>A_4</math> nicht perfekt. Die abelsche Gruppe <math>A_3</math> ist einfach, aber nicht perfekt, denn als abelsche Gruppe besitzt sie <math>\{1\}</math> als Kommutatorgruppe.

Ist eine nicht-abelsche Gruppe einfach, dann ist sie auch perfekt. Denn die Kommutatorgruppe ist ein Normalteiler, der von <math>\{1\}</math> verschieden ist und damit die ganze Gruppe.

Die [[spezielle lineare Gruppe]] <math>SL(2,\mathbb{F}_5)</math> ist perfekt, aber nicht einfach. Hier bezeichnet <math>\mathbb{F}_5</math> den [[Restklassenkörper]] modulo 5.

== Weblinks ==
*{{MathWorld|PerfectGroup|Perfect Group}}

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]

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