Greensche Formeln

2025-04-15T12:09:44Z

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In der [[Mathematik]], speziell der [[Vektoranalysis]], sind die beiden '''greenschen Formeln''' (manchmal auch '''greensche Identitäten''', '''greensche Sätze''' oder '''Theoreme''') spezielle Anwendungen des [[Gaußscher Integralsatz|gaußschen Integralsatzes]]. Sie sind benannt nach dem Mathematiker [[George Green]]. Anwendung finden sie unter anderem in der [[Elektrostatik]] bei der Berechnung von Potentialen. Die Formeln sind nicht zu verwechseln mit dem [[Satz von Green]], bei dem es um ebene Integrale geht.

Im Folgenden sei <math>U \subset \mathbb{R}^n</math> kompakt mit abschnittweise glattem Rand und <math>\phi</math> und <math>\psi</math> seien zwei Funktionen auf <math>U</math>, wobei <math>\phi</math> einfach und <math>\psi</math> zweifach [[Differentialrechnung|stetig differenzierbar]] sei. <math>\nabla</math> ist der [[Nabla-Operator]].

== Erste Greensche Identität ==
:<math>\int\limits_{U} (\phi\nabla ^2\psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}U = \int\limits_{\partial U} \phi \frac{\partial\psi}{\partial n} \mathrm{d}S</math>,
wobei <math>\tfrac{\partial\psi}{\partial n} = \nabla \psi\cdot\vec{n}</math> die ''Normalenableitung'' von <math>\psi</math>, also die [[Normalkomponente]] des Gradienten von <math>\psi</math> auf dem Rand <math>\partial U</math> bezeichnet.

Diese Identität lässt sich wie folgt beweisen:
:<math>\; \int\limits_{\partial U} \phi \frac{\partial\psi}{\partial n} \mathrm{d}S = \int\limits_{\partial U} (\phi\,\nabla\psi)\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S = \int\limits_{U} \nabla\cdot(\phi\,\nabla\psi) \, \mathrm dU = \int\limits_{U} (\phi\nabla ^2\psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}U</math>,
wobei im zweiten Schritt der [[Gaußscher Integralsatz|gaußsche Integralsatz]] in der Form
:<math>\; \int\limits_{\partial U} \vec F \cdot \vec n\; \mathrm dS = \int\limits_{U} \nabla\cdot \vec F \; \mathrm dU </math>
benutzt wurde.

== Zweite Greensche Identität ==
:<math> \int\limits_{U} (\phi\nabla ^2\psi - \psi\nabla ^2\phi)\, \mathrm{d}U = \int\limits_{\partial U} \left(\phi \frac{\partial\psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial\phi}{\partial n}\right) \,\mathrm{d}S </math>

Die zweite greensche Identität folgt aus der ersten greenschen Identität, wobei nun vorausgesetzt wird, dass auch <math> \phi </math> zweimal stetig differenzierbar ist:
:<math>\int\limits_{U} (\phi\nabla ^2\psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}U = \int\limits_{\partial U} \phi \frac{\partial\psi}{\partial n} \,\mathrm{d}S</math>,

:<math>\int\limits_{U} (\psi\nabla ^2\phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi)\, \mathrm{d}U = \int\limits_{\partial U} \psi \frac{\partial\phi}{\partial n} \,\mathrm{d}S</math>
Subtrahiert man nun die zweite Gleichung von der ersten Gleichung, so ergibt sich die zweite greensche Identität.

== Anwendungen in der Elektrostatik (3D) ==

=== Eindeutigkeitssatz ===
Für ein elektrostatisches Potential <math> \phi\!\, </math> gilt die [[Poissongleichung]] <math> \nabla^2 \phi = - 4\pi \rho</math> wobei <math>\rho\!\,</math> die elektrische Ladungsdichte ist ([[gaußsches Einheitensystem]]). Wenn in einem Volumen <math> U \!\,</math> die Ladungsdichte gegeben ist, und wenn zusätzlich auf dem Rand <math>\partial U</math> die Werte von <math> \phi\!\, </math> gegeben sind ([[Dirichlet-Randbedingung]]), dann gilt:

:Innerhalb von <math> U \!\,</math> ist <math>\phi(\vec{r})</math> eindeutig bestimmt.

Beweis: Es seien <math> \phi_1(\vec{r}) </math> und <math> \phi_2(\vec{r})</math> zwei Potentiale, die dieselben Vorgaben über Ladungsdichte und Randwerte erfüllen. Für die Differenzfunktion gilt dann
:<math>
\chi(\vec{r}): = \phi_1(\vec{r}) - \phi_2(\vec{r}) \qquad
\begin{array}{rl}
\nabla^2 \chi(\vec{r}) = 0 & \vec{r}\in U \\
\chi(\vec{r}) = 0 & \vec{r}\in \partial U \end{array}
</math>
Setzt man <math>\chi\!\,</math> in der ersten greenschen Formel für <math>\phi\!\,</math> und auch für <math>\psi\!\,</math> ein, so folgt
:<math>
\int_{U} \nabla \chi \cdot \nabla \chi \, \mathrm{d}U = 0
</math>
Also muss der Gradient <math>\nabla\chi</math> überall in <math> U \!\, </math> verschwinden, somit <math> \chi\, </math> konstant sein, und wegen seines Null-Randwerts sogar konstant gleich null sein. Also gilt <math>\phi_1(\vec{r})=\!\, \phi_2(\vec{r})</math> innerhalb von <math> U \!\, </math>.

[[Nota bene|N.B.]] Bei dem Beweis wird die Poissongleichung und somit die Ladungsdichte nur ''innerhalb'' von <math> U \!\, </math> benutzt.

=== Abschirmung durch geschlossene Leiterfläche ===
<math>\partial U</math> sei eine geschlossene Leiterfläche, so dass das elektrostatische Potential <math> \phi\!\, </math> auf <math>\partial U</math> einen konstanten Wert <math>\phi_0\!\,</math> hat ([[Äquipotentialfläche]]). Zum Beispiel lässt sich
<math>\phi_0\!\,=0</math> physikalisch realisieren, indem die Leiterfläche geerdet wird. Nach dem Eindeutigkeitssatz ist der Potentialverlauf innerhalb von <math> U \!\, </math> bereits durch die Ladungsverteilung in
<math> U \!\, </math> und durch den Randwert bestimmt. Folglich haben elektrische Ladungen im Außenraum keinen Einfluss auf den Potentialverlauf im Innenraum.

Wenn die geschlossene Leiterfläche nicht geerdet ist, dann sind die Randwerte von <math> \phi\!\, </math> immer noch konstant, aber mit unbekanntem Wert. Dieser Wert kann davon abhängen, welche Ladungen außerhalb von <math> U \!\, </math> vorhanden sind. Der Beweis des Eindeutigkeitssatzes lässt sich dahingehend verallgemeinern, dass die Differenzfunktion <math>\chi\!\,</math> noch konstant in <math> U \!\, </math>, aber nicht mehr gleich null ist. Für die elektrische Feldstärke, die durch Ableitungen aus dem Potential gewonnen wird, spielt die Konstante keine Rolle; die elektrische Feldstärke ist also auch ohne Erdung abgeschirmt.

=== Symmetrie der greenschen Funktion ===
Die [[greensche Funktion]] mit [[Dirichlet-Randbedingung]] und mit vektoriellem Parameter <math>\vec{r}_1\in U</math> ist definiert durch
:<math>
\begin{array}{cl}
\nabla^2 G_D(\vec{r},\vec{r}_1) = \delta(\vec{r}-\vec{r}_1) & \vec{r}\in U \\
G_D(\vec{r},\vec{r}_1) = 0 & \vec{r}\in \partial U
\end{array}
</math>
Bis auf einen Faktor <math>-4\pi</math> entspricht das der Poissongleichung für ein Potential <math> \phi(\vec{r}) </math>, das von einer [[Punktladung]] am Ort <math>\vec{r}_1</math> erzeugt wird, und das auf der geerdeten Oberfläche <math>\partial U</math> den Randwert 0 hat. Die Existenz einer solchen Funktion ist physikalisch klar, und wegen des Eindeutigkeitssatzes ist sie eindeutig bestimmt. Obwohl die Rollen von <math>\vec{r}</math> (Messpunkt) und <math>\vec{r}_1</math> (Position der Ladung) physikalisch verschieden sind, besteht mathematisch eine Symmetrie:
:<math>
G_D(\vec{r}_2,\vec{r}_1) = G_D(\vec{r}_1,\vec{r}_2)
</math>
Beweis: Setzt man in der zweiten greenschen Formel
:<math>
\phi(\vec{r}) = G_D(\vec{r},\vec{r}_1) \qquad \psi(\vec{r}) = G_D(\vec{r},\vec{r}_2)
</math>
so erhält man auf der linken Seite Integrale mit Delta-Funktionen, die <math> G_D(\vec{r}_2,\vec{r}_1) - G_D(\vec{r}_1,\vec{r}_2) </math> ergeben. Auf der rechten Seite verschwinden die Integranden wegen der Randwerte von <math>G_D</math>.

=== Potential ausgedrückt durch Ladungsdichte und Randwerte ===
Verwendet man in der zweiten greenschen Formel als Integrationsvariable <math>\vec{r}_1</math> und lässt man <math> \phi\!\, </math> das elektrostatische Potential sein, so erhält man mit <math> \psi(\vec{r}_1) = G_D(\vec{r},\vec{r}_1)</math> und mit Hilfe der Symmetrie von <math>G_D</math> den expliziten Ausdruck
:<math>
\phi(\vec{r}) = - 4 \pi \int_U G_D(\vec{r},\vec{r}_1) \rho(\vec{r}_1) dU_1 + \int_{\partial U} \phi(\vec{r}_1) \frac{\partial G_D(\vec{r},\vec{r}_1)}{\partial n_1} dS_1
</math>

=== Integralgleichung für das Potential ===
Unter Anwendung der oben gezeigten greenschen Formeln lassen sich Ausdrücke für das [[Elektrostatik#Potential und Spannung|elektrostatische Potential]] einer Ladungsverteilung herleiten. Dabei sei <math>\rho (\vec r\,')</math> die [[Ladungsdichte]] am Ort <math>\vec r\,'</math>. Mit <math>\phi(\vec r)</math> werde das Potenzial am Ort <math>\vec r</math> bezeichnet. Gesucht ist die Funktion <math>\phi</math>.

Wir setzen für <math>\psi(\vec{r}\,') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|}</math>. Es gilt dann:

# <math>\Delta' \psi(\vec{r}\,') = \Delta'\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} = -4\pi \delta(\vec{r} - \vec{r}\,')</math>,
#:*wobei <math>\Delta = \nabla^2</math> der [[Laplace-Operator]] ist,
#:*der Strich anzeigt, dass dieser Operator auf die gestrichene Variable wirkt
#:*und <math>\delta</math> die [[Delta-Distribution]] ist.
#:Diese Identität ist also im Sinne von [[Distribution (Mathematik)|distributionellen Ableitungen]] zu verstehen.
# <math>\Delta' \phi(\vec{r}\,') = -4\pi \rho(\vec{r}\,')</math> mit der Ladungsverteilung <math>\rho</math> am Ort <math>\vec{r}\,'</math>.

Setzen wir beides in die zweite greensche Identität ein, erhalten wir auf der linken Seite:

:<math>\int\limits_{V} (\phi(\vec{r}\,') (-4\pi \delta(\vec{r} - \vec{r}\,')) - \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} (-4\pi \rho(\vec{r}\,')))\, \mathrm{d}V' = -4\pi\int\limits_V \phi(\vec{r}\,') \delta(\vec{r} - \vec{r}\,') \, \mathrm{d}V' + 4\pi \int\limits_V \frac{\rho(\vec{r}\,')}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} \, \mathrm{d}V'</math>.

Die rechte Seite der Identität ist:

:<math>\int\limits_F \left(\phi(\vec{r}\,') \frac{\partial}{\partial n'}\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} - \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} \frac{\partial}{\partial n'}\phi(\vec{r}\,') \right) \mathrm{d}F'</math>.

Als Identität geschrieben:

:<math>-4\pi \int\limits_V \phi(\vec{r}\,') \delta(\vec{r} - \vec{r}\,') \, \mathrm{d}V' + 4\pi \int\limits_V \frac{\rho(\vec{r}\,')}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} \, \mathrm{d}V' = \int\limits_F \left(\phi(\vec{r}\,') \frac{\partial}{\partial n'}\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} - \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} \frac{\partial}{\partial n'}\phi(\vec{r}\,') \right) \mathrm{d}F'</math>.

Innerhalb des Volumens gilt an der Stelle <math>\vec{r}</math> wegen der <math>\delta</math>-Funktion
:<math>-4\pi \int\limits_V \phi(\vec{r}\,') \delta(\vec{r} - \vec{r}\,') \mathrm{d}V' = -4\pi \phi(\vec{r})</math>
Damit können wir schließlich obige Identität nach dem Potential auflösen und erhalten:

:<math>\phi(\vec{r}) = \int\limits_V \frac{\rho(\vec{r}\,')}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} \, \mathrm{d}V' - \frac{1}{4\pi} \int\limits_F \left(\phi(\vec{r}\,') \frac{\partial}{\partial n'}\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} - \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}\,'|} \frac{\partial}{\partial n'}\phi(\vec{r}\,') \right) \mathrm{d}F'</math>.

== Literatur ==
* John David Jackson: ''Klassische Elektrodynamik''. Walter de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4
* Walter Greiner: ''Theoretische Physik Band 3 – Klassische Elektrodynamik''. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun ISBN 3-8171-1184-3
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 3. Integralrechnung im ''R<sup>''n''</sup>'' mit Anwendungen.'' 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996, ISBN 3-528-27252-X

[[Kategorie:Vektoranalysis]]
[[Kategorie:Feldtheorie]]

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