Scott-Topologie

2023-04-21T17:34:45Z

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Die '''Scott-Topologie''', benannt nach [[Dana Scott]], ist eine [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], die sich aus der [[Halbordnung]] auf einer halbgeordneten Menge ergibt.<ref>Dana Scott ''Continuous lattices'', in Lawvere ''Toposes, Algebraic Geometry and Logic'', Lecture Notes in Mathematics 274. Springer-Verlag 1972</ref> Sie spielt unter anderem in der [[theoretische Informatik|theoretischen Informatik]] eine Rolle.

== Definition ==
Es sei <math>(A, \sqsubseteq)</math> eine Menge mit [[Halbordnung]].
Eine Teilmenge <math>U\subseteq A</math> heißt '''Scott-abgeschlossen''', falls
* <math>U</math> bezüglich <math>\sqsubseteq</math> eine [[Unterhalbmenge]] ist, das heißt mit jedem Element auch jedes bzgl. der Halbordnung kleinere enthält, und
* für alle [[gerichtete Menge|gerichteten]] <math>M\subseteq U</math>, die in <math>(A,\sqsubseteq)</math> ein [[Supremum]] <math>\bigsqcup M</math> haben, ist <math>\bigsqcup M \in U</math>.

Die so definierten Scott-abgeschlossenen Mengen sind genau die [[abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] der '''Scott-Topologie''' auf <math>(A,\sqsubseteq)</math>.

== Eigenschaften ==
Im Folgenden seien <math>(A,\sqsubseteq_A)</math> und <math>(B,\sqsubseteq_B)</math> halbgeordnete Mengen, und sie seien mit der jeweiligen Scott-Topologie ausgestattet.
* Ist <math>f\colon A\to B</math> eine stetige Abbildung, so ist <math>f</math> monoton.
* Eine Abbildung <math>f\colon A\to B</math> ist genau dann stetig, wenn <math>f</math> gerichtete Suprema erhält, d. h. für alle gerichteten <math>M\subseteq A</math> mit Supremum <math>\bigsqcup M</math> ist <math>\bigsqcup(f(M)) = f(\bigsqcup M)</math>.

== Literatur ==
{{Literatur
| Autor=S. Abramksy, A. Jung
| Kapitel=Domain theory
| Titel=Handbook of Logic in Computer Science
| Band=Vol. III
| Verlag=Oxford University Press
| Jahr=1994
| ISBN=0-19-853762-X
| Online=https://www.cs.bham.ac.uk/~axj/pub/papers/handy1.pdf
}}

== Weblinks ==
{{nLab|Scott+topology|2=Scott topology}}
== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]

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Scott-Topologie