Direktes Verfahren

2020-03-24T16:31:19Z

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'''Direkte Verfahren''' sind [[Numerische Mathematik|numerische Methoden]], die direkt eine Lösung liefern, im Gegensatz zu [[Iteratives Verfahren|iterativen Verfahren]], die schrittweise eine Anfangsnäherung verbessern. Hierbei ist zu beachten, dass für sehr viele Probleme keine direkten Verfahren existieren; dazu gehören insbesondere fast alle nichtlinearen Gleichungssysteme. Eine wichtige Klasse, für die direkte Verfahren bekannt sind, sind [[Lineares Gleichungssystem|lineare Gleichungssysteme]].

Gegeben ist dazu ein Gleichungssystem <math>Ax=b</math> mit einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A\in\R^{n\times n}</math> und den rechten Seiten <math>b_{i}</math> in einem Vektor <math>b\in\R^{n}</math>. Die Aufgabe besteht nun darin, die Matrix so umzuformen, dass die Gesuchte, also <math>x:=x_j\in\R^{n}</math>, möglichst einfach auszurechnen ist. Dies ist der Fall, wenn durch diese Operationen <math>A</math> in eine obere Dreiecksmatrix umgeformt worden ist, das heißt alle Elemente unterhalb der [[Hauptdiagonale]]n sind gleich null. Das erreicht man auf verschiedenen Wegen.

Beim [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahren]] werden dazu <math>A</math> und <math>b</math> mit einer Matrix <math>L</math> multipliziert, die folgendermaßen aussieht:

<math>L=l_{ij}=a_{ij}/a_{jj}</math>, falls <math>j\le i</math>, <math>l_{ij}=0</math> sonst. <math>L\cdot A</math> hat dann Diagonalgestalt und die <math>x_j</math> können dann von <math>j=n </math> bis <math>j=1</math> aus <math>L\cdot A x=L\cdot b</math> rückwärts ausgerechnet werden.

Weitere direkte Verfahren sind das [[QR-Zerlegung|Householderverfahren]], bei dem die zu multiplizierende Matrix <math>L</math> orthogonal ist, oder das Verfahren durch [[Givens-Rotation]]en, bei dem die Nullen dadurch erzeugt werden, dass Vektoren in einem zweidimensionalen [[Untervektorraum]] des <math>\R^n</math> gedreht werden, so dass immer eine Komponente Null wird.

Darüber hinaus gibt es Verfahren, die spezielle Eigenschaften des Systems ausnutzen. Ein Beispiel ist die [[Cholesky-Zerlegung]] für positiv definite Systeme oder Verfahren zur Lösung von [[Dünnbesetzte Matrix|dünnbesetzten]] Systemen.

== Literatur ==
* A. Meister: ''Numerik linearer Gleichungssysteme'', 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3528131357

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

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