Endliche Präsentierbarkeit (Modul)

2021-11-17T17:19:23Z

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Die '''endliche Präsentierbarkeit''' ist ein Konzept aus der mathematischen Theorie der [[Modul (Mathematik)|Moduln]]. Ein Modul ist endlich präsentierbar, wenn er ein endliches [[Erzeugendensystem]] besitzt, für das die Relationen, die zwischen dessen Elementen bestehen dürfen, einer Endlichkeitsbedingung unterworfen sind.

== Präsentation eines Moduls ==
Es sei <math>M</math> ein Linksmodul über einem Ring <math>R</math>. Ist <math>(m_i)_{i\in I}</math> ein Erzeugendensystem von <math>M</math> und bezeichnet <math>R^{(I)}</math> die <math>I</math>-fache [[direkte Summe]] von <math>R</math> mit den [[Basis (Modul)|Basis]]-Elementen <math>e_i,\, i\in I</math>, so gibt es genau einen [[Homomorphismus]] <math>f:R^{(I)}\rightarrow M</math> mit <math>f(e_i) = m_i</math>. Da <math>(m_i)_{i\in I}</math> den Modul <math>M</math> erzeugt, ist <math>f</math> surjektiv und man erhält eine kurze [[exakte Sequenz]]
:<math> 0\rightarrow \mathrm{ker}(f) \rightarrow R^{(I)} \xrightarrow{f} M \rightarrow 0</math>,
die man die zum Erzeugendensystem gehörige Präsentation von <math>M</math> nennt.<ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Definition IV.1.8.</ref>

In obiger Definition enthält <math> \mathrm{ker}(f) </math>, der sogenannte ''Relationenmodul'', Informationen über die Relationen, die zwischen den erzeugenden Elementen bestehen. Ist im Extremfall <math> \mathrm{ker}(f) = \{0\} </math>, so ist <math>f:R^{(I)}\rightarrow M</math> ein [[Isomorphismus]], der die [[kanonische Basis]] <math>(e_i)_{i\in I}</math> auf <math>(m_i)_{i\in I}</math> abbildet, das heißt letzteres ist eine Basis von <math>M</math>, insbesondere ist <math>M</math> in diesem Fall ein [[freier Modul]]. Der hier zu definierende Begriff fordert die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems, dessen Elemente nicht zu vielen Relationen unterworfen sind:

Ein Modul <math>M</math> heißt '''endlich präsentierbar''', wenn es einen endlich erzeugten freien Modul <math>F</math> und einen surjektiven Homomorphismus <math>f:F\rightarrow M</math> gibt, so dass auch <math>\mathrm{ker}(f) </math> endlich erzeugt ist.

Da alle endlich erzeugten freien <math>R</math>-Moduln zu einem <math>R^n</math> mit <math>n\in \N</math> isomorph sind, hat man also eine kurze exakte Sequenz
:<math> 0\rightarrow \mathrm{ker}(f) \rightarrow R^n \xrightarrow{f} M \rightarrow 0</math>
mit endlich erzeugtem <math>\mathrm{ker}(f) </math> <ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Definition IV.1.9.</ref>.

== Beispiele ==
* Endlich erzeugte Moduln über einem [[Noetherscher Ring|noetherschen Ring]] sind endlich präsentierbar, denn in obiger Definition ist <math>\mathrm{ker}(f) </math> als Untermodul des noetherschen Moduls <math>R^n</math> endlich erzeugt.
* Jeder endlich erzeugte [[Projektiver Modul|projektive Modul]] ist endlich präsentierbar.<ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory, Bd. 1'', Examples 2.8.28.</ref>

== Eigenschaften ==
=== Relationenmoduln ===
Ist <math>M</math> endlich präsentierbar, so ist definitionsgemäß der Kern einer bestimmten Surjektion eines endlich erzeugten freien Moduls auf <math>M</math> endlich erzeugt. Es zeigt sich, dass jeder Relationenmodul zu einem endlichen Erzeugendensystem endlich erzeugt ist, es gilt sogar:
* Ist <math>M</math> endlich präsentierbar und <math>f:N\rightarrow M</math> surjektiv mit endlich erzeugtem Modul <math>N</math>, so ist <math>\mathrm{ker}(f) </math> endlich erzeugt.<ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory, Bd. 1'', Proposition 2.8.29.</ref>

Zum Beweis betrachte man neben der kurzen exakten Sequenz
:<math> 0 \rightarrow \mathrm{ker}(f) \rightarrow N \xrightarrow{f} M \rightarrow 0</math>
auch die kurze exakte Sequenz
:<math> 0 \rightarrow K \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0</math>
aus der Definition der endlichen Präsentierbarkeit mit endlich erzeugtem Modul <math>K</math>. Nimmt man zusätzlich an, dass <math>N</math> projektiv ist, so folgt aus dem [[Lemma von Schanuel]], dass <math>\mathrm{ker}(f) \oplus R^n \cong N\oplus K</math>, das heißt <math>\mathrm{ker}(f)</math> ist direkter Summand eines endlich erzeugten Moduls und daher selbst endlich erzeugt. Der allgemeine Fall kann darauf zurückgeführt werden.

=== Lokalisierung von Homomorphismen ===
Ist <math>S</math> eine multiplikative Teilmenge des kommutativen Ringes <math>R</math>, so kann man <math>R</math>-Moduln nach <math>S</math> [[Lokalisierung (Algebra)|lokalisieren]]. Ist <math>f:M\rightarrow N</math> eine <math>R</math>-lineare Abbildung, so ist
:<math>f_S: M_S\rightarrow N_S,\quad f_S\left(\frac{x}{s}\right) := \frac{f(x)}{s}</math>
eine <math>R_S</math>-lineare Abbildung, und die Zuordnung
:<math>\mathrm{Hom}_R(M,N)\rightarrow \mathrm{Hom}_{R_S}(M_S,N_S),\, f\mapsto f_S</math>
induziert eine <math>R_S</math>-lineare Abbildung
:<math>\mathrm{Hom}_R(M,N)_S \rightarrow \mathrm{Hom}_{R_S}(M_S,N_S).</math>
Es stellt sich nun die Frage, wann diese Abbildung ein Isomorphismus ist. Es gilt<ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Satz IV.1.10.</ref>

* Es seien <math>R</math> ein kommutativer Ring, <math>S\subset R</math> multiplikativ und <math>M</math> und <math>N</math> <math>R</math>-Moduln. Ist <math>M</math> endlich präsentierbar, so ist obige Abbildung
:<math>\mathrm{Hom}_R(M,N)_S \rightarrow \mathrm{Hom}_{R_S}(M_S,N_S).</math>
: ein Isomorphismus.

== Literatur ==
* [[Ernst Kunz (Mathematiker)|Ernst Kunz]]: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'' (Vieweg-Studium; Bd. 46). Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-07246-6.
* Louis H. Rowen: ''Ring Theory, Bd. 1'' (Pure and applied mathematics; Bd. 127). Academic Press, Boston, Mass. 1988, ISBN 0-12-599841-4.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

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