Cramér-von-Mises-Test

2020-05-31T11:53:26Z

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Der ''' Cramér-von-Mises-Test''' ist ein [[statistischer Test]], mit dem untersucht werden kann, ob die [[Häufigkeitsverteilung]] der Daten einer [[Stichprobe]] von einer vorgegebenen hypothetischen [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] abweicht (Ein-Stichproben-Fall), oder ob die Häufigkeitsverteilungen von zwei verschiedenen Stichproben voneinander abweichen (Zwei-Stichproben-Fall). Beim Vergleich der Verteilung einer Stichprobe mit der [[Normalverteilung]] fungiert das Verfahren als [[Normalverteilung#Testen auf Normalverteilung|Normalitätstest]]. Der Test ist benannt nach [[Harald Cramér]] und [[Richard von Mises]], die ihn zwischen 1928 und 1930 entwickelt und veröffentlicht haben. Die Verallgemeinerung für den Zwei-Stichproben-Fall wurde 1962 von Theodore Wilbur Anderson beschrieben.

== Testbeschreibung ==
Für den Vergleich der Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe mit einer vorgegebenen hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet sich die [[Teststatistik|Testgröße]] <math>T</math> aus den aufsteigend sortierten Stichprobenwerten <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math> und der [[Verteilungsfunktion]] <math>F</math> der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung nach der Formel

:<math>T = n \omega^2 = \frac{1}{12n} + \sum_{i=1}^n \left[ \frac{2i-1}{2n}-F(x_i) \right]^2</math>.

Aus dem Vergleich der Testgröße <math>T</math> mit entsprechenden Tabellenwerten ergibt sich der [[p-Wert]]. Die [[Hypothese (Statistik)|Nullhypothese]] des Tests im Ein-Stichproben-Fall ist die Annahme, dass sich die Verteilung der Stichprobendaten nicht von der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung unterscheidet. Ein p-Wert kleiner als ein vorgegebenes Signifikanzniveau (zum Beispiel 0,05) ist somit als [[Statistische Signifikanz|statistisch signifikante]] Abweichung der Verteilung der Stichprobenwerte von der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung zu interpretieren.

Für den Vergleich der Häufigkeitsverteilungen von zwei verschiedenen Stichproben berechnet sich die Testgröße <math>T</math> nach den Formeln

:<math>T = N \omega^2 = \frac{U}{N M (N+M)}-\frac{4 M N - 1}{6(M+N)} </math>

mit

:<math>U = N \sum_{i=1}^N (r_i-i)^2 + M \sum_{j=1}^M (s_j-j)^2 </math>.

Dabei sind, jeweils aufsteigend sortiert, <math>x_1,x_2,\ldots,x_N</math> die Werte in der ersten und <math>y_1,y_2,\ldots,y_M</math> die Werte in der zweiten Stichprobe sowie <math>r_1,r_2,\ldots,r_N</math> die Ränge der Werte der ersten Stichprobe und <math>s_1,s_2,\ldots,s_M</math> die Ränge der Werte der zweiten Stichprobe in einer gemeinsamen Rangfolge beider Stichproben.

Der p-Wert ergibt sich analog zum Ein-Stichproben-Fall aus dem Vergleich der Testgröße <math>T</math> mit entsprechenden Tabellen. Die Nullhypothese des Cramér-von-Mises-Tests im Zwei-Stichproben-Fall ist die Annahme, dass sich die Häufigkeitsverteilungen beider Stichproben nicht unterscheiden. Ein p-Wert kleiner als ein vorgegebenes Signifikanzniveau (zum Beispiel 0,05) bedeutet deshalb einen statistisch signifikanten Unterschied zwischen den Verteilungen der Werte beider Stichproben.

== Alternative Verfahren ==
Der [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] stellt sowohl für den Ein-Stichproben-Fall als auch für den Zwei-Stichproben-Fall eine Alternative zum Cramér-von-Mises-Test dar, wobei letzterer aber insbesondere für den Zwei-Stichproben-Fall als [[Trennschärfe eines Tests|trennschärfer]] gilt. Eine weitere Alternative zum Cramér-von-Mises-Test für den Ein-Stichproben-Fall ist der [[Anderson-Darling-Test]]. Für die spezielle Anwendung als Normalitätstest können unter anderem auch der [[Shapiro-Wilk-Test]], der [[Jarque-Bera-Test]] und der [[Lilliefors-Test]] als alternative Verfahren genutzt werden.

== Literatur ==
* Theodore Wilbur Anderson: ''On the Distribution of the Two-Sample Cramer-von Mises Criterion.'' In: ''The Annals of Mathematical Statistics.'' 33(3)/1962. Institute of Mathematical Statistics, {{ISSN|0003-4851}}, S. 1148–1159
* ''Cramér-von-Mises Test.'' In: Zakkula Govindarajulu: ''Nonparametric Inference.'' World Scientific, Hackensack NJ 2007, ISBN 9-81-270034-X, S. 187–189

{{SORTIERUNG:Cramer von Mises Test}}
[[Kategorie:Nichtparametrischer Test]]

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Cramér-von-Mises-Test