Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

2018-11-13T21:36:53Z

5.28.108.86: /* Abgrenzung zu den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen */

Die '''stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen''', auch '''diffuse''' oder '''atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen''' bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 242. </ref> sind in der [[Stochastik]] eine große Klasse von häufig auftretenden [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en auf den [[reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]].

Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den [[absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|absolutstetigen Verteilungen]], aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden.

== Definition ==
Gegeben sei eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math> P </math> auf den reellen Zahlen <math> \R </math>, versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (\R ) </math>.

Dann heißt <math> P </math> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die [[Verteilungsfunktion]] <math> F_P </math> von <math> P </math> [[Stetige Funktion|stetig]] ist.

Äquivalent dazu ist, dass <math> P </math> [[atomloses Maß|atomlos]] ist. Das bedeutet, es existiert kein <math> x \in \R </math>, so dass <math> P(\{ x \} ) > 0 </math> ist.

== Weitere Unterteilung ==
Nach dem [[Darstellungssatz (Stochastik)|Darstellungssatz]] lässt sich jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung noch weiter zerlegen in
* Eine [[absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]], für die eine [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] existiert.
* Eine [[stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung]], deren Ableitung [[fast überall]] verschwindet.

== Abgrenzung zu den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ==
Wie oben bereits erwähnt, ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer auch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Umkehr gilt im Allgemeinen nicht, wie das [[pathologisches Beispiel|pathologische Beispiel]] der stetigsingulären [[Cantor-Verteilung]] zeigt.

Somit sollten absolutstetige und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht verwechselt werden. Schon allein aufgrund der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Handhabung von absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wesentlich leichter als die von stetigen.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}
*{{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

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