Jacobi-Operator

2022-05-13T17:46:16Z

31.17.150.32: /* Anwendungen */

Ein '''Jacobi-Operator''', nach [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] (1804–1851), ist ein [[Symmetrischer Operator|symmetrischer]] [[linearer Operator]], der auf [[Folge (Mathematik)|Folgen]] operiert und der in der durch [[Kronecker-Delta]]s gegebenen [[Standardbasis]] durch eine [[Tridiagonalmatrix|tridiagonale Matrix]], die '''Jacobi-Matrix''', dargestellt wird.

== Selbstadjungierte Jacobi-Operatoren ==

Der wichtigste Fall ist der von [[selbstadjungiert]]en Jacobi-Operatoren im [[Hilbertraum]] der quadratsummierbaren [[Folge (Mathematik)|Folgen]] über den positiven ganzen Zahlen <math>\ell^2(\mathbb{N})</math>. In diesem Fall ist <math>J: \ell^2(\N) \to \ell^2(\N), \, f \mapsto J\, f</math> durch
:<math> (J\, f)_n = \begin{cases} a_1 f_2 + b_1 f_1, & n=1,\\ a_n f_{n+1} + a_{n-1} f_{n-1} + b_n f_n, & n>1, \end{cases}</math>
gegeben, wobei die Koeffizienten
:<math>a_n >0, \quad b_n \in \mathbb{R}</math>
erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.

Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der [[orthogonale Polynome|orthogonalen Polynome]] verknüpft: Die Lösung <math>P_n(z)</math> der [[Differenzengleichung]]
:<math> J\, P_n(z) = z\, P_n(z), \qquad P_1(z)=1,</math>
ist ein Polynom vom Grad <math>n</math> und diese Polynome sind [[orthonormal]] bezüglich des [[Spektralmaß]]es das zum ersten Basisvektor <math>\delta_{1,n}</math> gehört.

== Anwendungen ==

Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auf. Der Fall <math>a_n=1</math> ist als diskreter eindimensionaler [[Schrödingergleichung|Schrödingeroperator]] bekannt. Sie treten auch im [[Lax-Paar]] des [[Toda-Gitter]]s auf.

== Literatur ==

*[[Gerald Teschl|G. Teschl]], Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 ([https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/ freie Online-Version])

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]
[[Kategorie:Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber]]

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