Arrow-Pratt-Maß

2025-02-28T23:00:14Z

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Das nach [[Kenneth Arrow]] und [[John W. Pratt]] benannte '''Arrow-Pratt-Maß''' ist ein Maß für die [[Risikoaversion]] eines Entscheiders, wobei zwischen dem Arrow-Pratt-Maß der ''absoluten Risikoaversion'' '''ARA''' und dem der ''relativen Risikoaversion'' '''RRA''' zu unterscheiden ist.

== Das Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion ==
Sei <math>u(x)</math> eine zweimal differenzierbare, monoton steigende [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktion]], dann ist das Arrow-Pratt-Maß der ''absoluten Risikoaversion'' <math>\mathit ARA(x)</math> für diese Nutzenfunktion wie folgt definiert:
:<math>
\mathit{ARA}(x) := -\frac{u''(x)}{u'(x)}
</math>.

Dabei implizieren negative Werte Risikofreude ([[Risikoaffinität]]) und positive Werte Risikoscheu ([[Risikoaversion]]). Nimmt das Maß schließlich den Wert Null an, ist der Entscheider [[Risikoneutralität|risikoneutral]].

Ein Entscheider <math>i</math> ist risikoaverser als ein anderer Entscheider <math>j</math>, wenn anhand ihrer Nutzenfunktionen <math>u_i(x)</math> und <math>u_j(x)</math> für ihre Arrow-Pratt-Maße gilt:

:<math>
\forall x: \mathit{ARA}_i(x) \ge \mathit{ARA}_j(x)
</math>.

Die ''Ableitung'' des Maßes der absoluten Risikoaversion <math>ARA'(x)</math>

:<math>
\mathit{ARA}'(x) = \left( -\frac{u''(x)}{u'(x)} \right)' = -\frac{u'(x)\cdot u'''(x)-(u''(x))^2}{(u'(x))^2} = \mathit{ARA}^2(x) - \frac{u'''(x)}{u'(x)}
</math>

gibt die Veränderung der [[Risikoeinstellung]] bei erhöhtem Einkommen an. Werden beispielsweise alle möglichen Einkommen, die aus der Entscheidungssituation resultieren können, um einen konstanten Wert erhöht, so erlaubt ein positiver Wert der Ableitung von ARA die Aussage, dass der Entscheider seine Risikoscheu oder Risikofreude, je nach Wert von ARA, verstärken wird, ein negativer Wert, dass er weniger risikofreudig oder -scheu handeln wird, und ein Wert von Null, dass die Erhöhung aller möglichen Einkommen sein Entscheidungsverhalten nicht beeinflusst.

=== Ausgewählte Beispiele ===

Nutzenfunktionen können danach unterschieden werden, ob ihre ARA konstant ist, zu- oder abnimmt.

* CARA (konstante absolute Risikoaversion bzw. {{enS}} ''constant absolute risk aversion''):
:<math>u(w) = \frac{e^{-kw}-1}{e^{-k}-1} \quad \text{und} \quad w(u)=\frac{\ln(u(e^{-k}-1)+1)}{-k}</math> (Funktion und deren Umkehrfunktionen)
* IARA (steigende absolute Risikoaversion bzw. {{enS}} ''increasing absolute risk aversion''):
:<math>u(w) = -aw^2 + bw \quad w < \frac{b}{2a}</math>
* DARA (sinkende absolute Risikoaversion bzw. {{enS}} ''decreasing absolute risk aversion''):
:<math>u(w) = \ln w</math>

Außerdem gibt es eine vielseitig genutzte Klasse von ''hyperbolischen'' ARA-Funktionen (demnach HARA), beispielsweise:

* HARA (hyperbolic absolute risk aversion): <math> u(w) = \frac{1-\gamma}{\gamma} \left(\frac{a w}{1-\gamma} + b\right)^{\gamma} </math>

== Das Arrow-Pratt-Maß der relativen Risikoaversion ==
Das Arrow-Pratt-Maß der ''relativen Risikoaversion'' errechnet sich wie folgt:

:<math>
\begin{align}\mathit{RRA}(x) = \mathit{ARA}(x) \cdot x= - \frac{u''(x)}{u'(x)} \cdot x = - \frac {\mathrm{d} u'(x)}{\mathrm{d} x} \cdot \frac {x}{u'(x)} = \eta_{u'(x),x}\end{align}
</math>

Es entspricht also der [[Elastizität (Wirtschaft)|Grenznutzenelastizität]] des möglichen Einkommens, welche eine Änderung der Risikobereitschaft bei veränderten möglichen Einkommen aus der Entscheidung ausdrückt.<ref>Zweifel, Peter, and Roland Eisen. Insurance economics. Springer Science & Business Media, 2012, S. 49.</ref> Ist das Maß der relativen Risikoaversion konstant, so wird der Entscheider bei einer gleichmäßigen, linearen Transformation aller möglichen Einkommen seine Entscheidung nicht ändern. Eine lineare relative Risikoaversion bedeutet eine abnehmende bzw. zunehmende Risikoaversion bei Erhöhung der möglichen Gewinne, je nachdem ob das Maß der RRA negativ bzw. positiv ist – die Ableitung der RRA gibt hierüber Aufschluss.

=== Ausgewählte Beispiele ===

Nutzenfunktionen mit konstantem relativem Risikoaversionsmaß <math>\mathit{RRA}(x) = 1/2</math> und deren Umkehrfunktionen sind beispielsweise die Funktionen

* CRRA: <math>u(w) = k \cdot \sqrt{w} \quad \text{und} \quad w(u) = \frac{u^2}{k^2}</math>
* IRRA: <math>u(w) = -e^{- a \cdot w}</math>

Im allgemeinen Fall konstanter relativer Risikoaversion (CRRA) <math>\mathit{RRA}(x) = \eta</math> ergibt sich die [[isoelastische Nutzenfunktion]].

== Bedeutung ==

Die Arrow-Pratt-Maße sind invariant gegenüber einer positiv linearen Transformation der Nutzenfunktion und eignen sich damit für die [[Von-Neumann-Morgenstern-Erwartungsnutzen|Neumann/Morgenstern-Theorie]].

Die über die Arrow-Pratt-Maße beobachtete [[Risikoaversion]] sinkt oft mit steigendem Vermögen. Im [[Versicherungsmarkt]] bedeutet dies etwa, dass wohlhabende Personen weniger Versicherung nachfragen (bzw. eine niedrigere Risikoprämie haben). Für den [[Kapitalmarkt]] heißt das, mit steigendem Vermögen investieren Anleger vermehrt in riskante Anlagen.

RRA berücksichtigt, dass Vermögen und Risiko eventuell in gewissem Maß zusammenhängen. Das heißt, für den Fall, dass ein größeres Vermögen einem größeren Risiko ausgesetzt wird als ein kleineres Vermögen, wäre die RRA die geeignete Kennzahl zur Messung der Risikoaversion.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Arrow, Kenneth J.
|Titel=Essays in the Theory of Risk-Bearing
|Verlag=Amsterdam
|Datum=1970
|ISBN=0-7204-3047-X}}
* {{Literatur
|Autor=Pratt, John W.
|Titel=Risk Aversion in the Small and in the Large
|Band=32
|Nummer=1/2
|Verlag=Econometrica
|Datum=1966
|Seiten=122–136}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Entscheidungstheorie]]
[[Kategorie:Ökonomische Kennzahl]]

[[en:Risk aversion#Measures of risk aversion]]

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