Grad (Vektorbündel)

2019-11-17T08:10:54Z

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Der '''Grad''' eines [[Vektorbündel]]s auf einer projektiven [[Kurve (algebraische Geometrie)|algebraischen Kurve]] ist eine relativ grobe, ganzzahlige [[Invariante (Mathematik)|Invariante]]. Er ist eng mit der [[Euler-Charakteristik]] des Vektorbündels verknüpft. Triviale Vektorbündel haben Grad 0.

== Definition ==
Der Grad <math>\deg\mathcal L</math> eines Geradenbündels <math>\mathcal L\cong\mathcal O(D)</math> mit einem [[Divisor]] <math>D</math> ist definiert als der Grad von <math>D</math>. Ist <math>\textstyle D= \sum n_P P</math> ein Divisor, so ist
sein Grad einfach die [[Ganze Zahlen|ganze Zahl]] <math>\textstyle \sum n_P </math>. Der Grad eines Vektorbündels <math>D</math> ist der Grad seines Determinantenbündels <math>\textstyle \det E = \bigwedge^{{\rm rk} E} E</math> .

Ein [[meromorph]]er Schnitt <math>\neq 0 </math> in einem Geradenbündel besitzt [[Nullstelle]]n und [[Polstelle]]n, die jeweils mit einer gewissen [[Bewertungstheorie|Ordnung (Vielfachheit)]] auftreten. Die Gesamtsumme dieser Ordnungen, wobei man die Polordnungen negativ zählen muss, ist unabhängig vom meromorphen Schnitt selbst, und ist eben der Grad des Bündels.

== Eigenschaften ==
* Additivität: ist
::<math>0\longrightarrow\mathcal E'\longrightarrow\mathcal E\longrightarrow\mathcal E''\longrightarrow0</math>
:eine [[kurze exakte Folge]] von Vektorbündeln, so ist
::<math>\deg\mathcal E=\deg\mathcal E'+\deg\mathcal E''.</math>
* Für zwei Vektorbündel <math>\mathcal E,\mathcal F</math> gilt
::<math>\deg(\mathcal E\otimes\mathcal F)=\mathrm{rk}\,\mathcal F\cdot\deg\mathcal E+\mathrm{rk}\,\mathcal E\cdot\deg\mathcal F.</math>
* '''Satz von Riemann-Roch''': Für ein Vektorbündel <math>\mathcal E</math> auf einer [[Glatt (algebraische Geometrie)|glatten]] Kurve vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] <math>g</math> gilt:
::<math>\chi(\mathcal E)=\deg\mathcal E+\mathrm{rk}\,\mathcal E\cdot(1-g).</math>

== Der Grad auf höherdimensionalen Varietäten ==
Auf einer glatten (oder zumindest normalen) projektiven Varietät <math> X </math> beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] kann man einem Vektorbündel (und sogar allgemeiner einer [[torsionsfrei]]en Garbe)
<math> E </math> ebenfalls einen Grad zuordnen, der allerdings von einem fixierten sehr [[Ampler Divisor|amplen Divisor]] <math> H </math> abhängt. In dieser Situation setzt man (unter Verwendung der [[Schnitttheorie]])

::<math>\deg \, E := \det (E) \, . \, H^{\rm dim (X)-1} </math>

Man nimmt also den <math> (\rm dim (X)-1)</math>-fachen Selbstschnitt des amplen Divisors, was eine Kurve ergibt, und betrachtet
die Einschränkung des Bündels auf diese Kurve. Dieser Grad hat ähnliche Eigenschaften wie der auf einer Kurve definierte Grad.

Für ein Vektorbündel auf einem [[Projektiver Raum|projektiven Raum]] vereinfacht sich diese Definition. Man hat <math> \det E= O(n) </math> mit
einer eindeutig bestimmten [[Ganze Zahlen|ganzen Zahl]] <math> n </math>, die man den Grad nennt.

== Der Slope (Neigung) eines Vektorbündels ==
Zu einem gegebenen Vektorbündel <math> E </math> definiert man (erstmals von [[David Mumford]]) den
slope (zu deutsch: die Neigung, doch ist dies nicht gebräuchlich) als

::<math>\mu (E) := \frac{\deg (E)}{ {\rm rk} (E)} \, . </math>

Dies ist der Ausgangspunkt der Theorie der [[Stabiles Vektorbündel|(semi)stabilen Vektorbündel]].

[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]

Satz von Church-Rosser

2019-11-17T06:57:54Z

2.247.244.137: Titel korrigiert

Das '''Church-Rosser-Theorem''' (bewiesen im Jahr 1936 von [[Alonzo Church]] und [[John Barkley Rosser]]) ist ein wichtiges Resultat aus der Theorie des [[Lambda-Kalkül]]s. Eine Konsequenz dieses Theorems ist, dass jeder Term des Lambda-Kalküls höchstens eine Normalform besitzt. Das Church-Rosser-Theorem lässt Verallgemeinerungen auf abstrakte [[Reduktionssystem]]e zu.

== Die Aussage des Theorems ==
Das Church-Rosser-Theorem besagt folgendes: Wenn zwei unterschiedliche Terme a und b ''äquivalent'' sind, d. h. mit Reduktionsschritten beliebiger Richtung ineinander transformiert werden können, dann gibt es einen weiteren Term c, zu dem sowohl a als auch b reduziert werden können.

== Formale Definitionen ==
Sei <math>\rightarrow</math> die Reduktionsrelation im Lambda-Kalkül; d. h. die Relation, die durch die <math>\alpha</math>–,<math>\beta</math>– und <math>\eta</math>− Konversionen definiert wird. Hierdurch wird der Lambda-Kalkül zu einem Spezialfall eines [[Reduktionssystem]]s; speziell eines [[Termersetzungssystem]]s.

<math>\stackrel{*}{\rightarrow}</math> ist die [[Transitive Hülle (Relation)|transitive Hülle]] von <math>\rightarrow \cup =</math> (der Vereinigung der Relation <math>\rightarrow</math> mit der [[Identität]]relation), d. h. <math>\stackrel{*}{\rightarrow}</math> ist die kleinste [[Quasiordnung]] ([[Reflexive Relation|reflexive]] und [[Transitive Relation|transitive]] Relation), die <math>\rightarrow</math> enthält. Sie ist auch die [[Reflexiv-transitive Hülle|reflexive und transitive Hülle]] von <math>\rightarrow</math>.

<math>\leftrightarrow</math> ist <math>\rightarrow \cup \rightarrow^{-1}</math>, d. h. die Vereinigung der Relation <math>\rightarrow</math> mit ihrer [[Relation (Mathematik)#Umkehrrelation|inversen Relation]]; <math>\leftrightarrow</math> wird auch als ''symmetrische Hülle'' von <math>\rightarrow</math> bezeichnet. <math>\stackrel{*}{\leftrightarrow}</math> ist die transitive Hülle von <math>\leftrightarrow</math>.

Das Church-Rosser-Theorem lässt sich dann wie folgt formulieren:

'''Theorem''' (Church-Rosser): Seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Terme im Lambda-Kalkül und
<math>
a \stackrel{*}{\leftrightarrow} b
</math>,
dann existiert ein Term <math>c</math> mit
<math>
a \xrightarrow{*} c
</math>
und
<math>
b \xrightarrow{*} c
</math>.

== Church-Rosser-Eigenschaft und Konfluenz ==
In abstrakten Reduktionssystemen wird die Church-Rosser-Eigenschaft wie folgt definiert:

'''Definition:''' Die Reduktionsrelation <math>\rightarrow</math> heißt „Church-Rosser“ (oder „besitzt die Church-Rosser-Eigenschaft“), wenn für alle Terme a und b gilt: Aus
<math>
a \stackrel{*}{\leftrightarrow} b
</math>,
folgt, dass ein Term <math>c</math> existiert mit
<math>
a \xrightarrow{*} c
</math>
und
<math>
b \xrightarrow{*} c
</math>.
[[Datei:Confluence.png|rechts]]
Von Bedeutung ist auch die folgende Definition der ''Konfluenz'':

'''Definition''' (s. Bild rechts zur Illustration): Ein Reduktionssystem heißt konfluent, wenn es zu drei Termen a, b und c mit
<math>
a \xrightarrow{*} b , a\xrightarrow{*} c
</math>
einen Term d gibt mit
<math>
b \xrightarrow{*} d
</math>
und
<math>
c \xrightarrow{*} d
</math>.

'''Satz'''.<ref>F. Baader, T. Nipkow, S. 11.</ref> In einem abstrakten Reduktionssystem (ARS) sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) Das System hat die Church-Rosser-Eigenschaft, (ii) es ist konfluent.

'''Folgerung'''. Wenn in einem konfluenten ARS <math>x \stackrel{*}{\leftrightarrow} y</math> gilt, dann

* wenn x und y Normalformen sind, dann gilt x = y,
* wenn y eine Normalform ist, dann ist <math>x \stackrel{*}{\rightarrow} y</math>.

== Literatur ==
* Alonzo Church, J. Barkley Rosser: ''Some properties of conversion.'' In: ''Transactions of the American Mathematical Society.'' Band 39, Nr. 3, Mai 1936, S. 472–482.
* Franz Baader, Tobias Nipkow: ''Term Rewriting and All That''. Cambridge University Press 1999, ISBN 0-521-77920-0, S. 9–11.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Church-RosserTheorem |title=Church-Rosser Theorem}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Berechenbarkeitstheorie]]
[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Church-Rosser, Satz von]]

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