Integralkriterium

2024-12-15T12:15:31Z

194.166.110.47: Der Begriff "unendliche Reihen" ist veraltet

[[Datei:Integral Test.svg|mini|Untere Abschätzung der [[Harmonische Reihe|harmonischen Reihe]] durch Fläche unter der Funktion 1/x]]
Das '''Integralkriterium''' (auch '''Integralvergleichskriterium''') ist ein [[Mathematik|mathematisches]] [[Konvergenzkriterium]] für [[unendliche Reihe|Reihe]]n. Die Reihe wird dabei als Fläche unter einer [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktion]] betrachtet, die durch den [[Flächeninhalt]] unter einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] abgeschätzt wird. Mit einer Abschätzung nach oben lässt sich die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] nachweisen, nach unten die Divergenz. Der Flächeninhalt unter der Kurve berechnet sich durch das [[Integralrechnung|Integral]].

== Formulierung ==

Es sei <math>f</math> eine [[monoton fallende Funktion]], die auf dem Intervall <math>[p,\infty)</math> mit einer [[ganze Zahl|ganzen Zahl]] <math>p</math> definiert ist und nur nichtnegative Werte annimmt. Dann konvergiert die Reihe <math>\textstyle \sum_{n=p}^\infty f(n) </math> genau dann, wenn das Integral <math>\textstyle \int_p^\infty f(x) \,\mathrm dx </math> existiert, das heißt, wenn es einen endlichen Wert annimmt. Anstatt von der Existenz des Integrals spricht man manchmal auch – gleichbedeutend – von der Konvergenz des Integrals.

Genauer: Sei <math>p \in \Z, f \colon [p, \infty) \to [0, \infty)</math> monoton fallend, dann gilt
:<math>f</math> ist auf <math>[p, \infty)</math> integrierbar <math>\iff \sum_{n=p}^\infty f(n)</math> ist konvergent.

Falls eines von beiden, also Existenz des Integrals beziehungsweise Konvergenz der Reihe, und damit auch das andere, zutrifft, gelten die Abschätzungen
:<math> \sum_{n=p+1}^\infty f(n) \leq \int_p^\infty f(x) \,\mathrm dx \leq \sum_{n=p}^\infty f(n)</math>.

== Beispiele ==

Um zu prüfen, ob die Reihe
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} </math>
konvergiert, stellt man fest, dass sie mit der Funktion
:<math> f\colon [1,\infty) \to\R, \quad f(x) = \frac{1}{x^2} </math>
als <math> \sum_{n=1}^\infty f(n)</math> geschrieben werden kann. Die Funktion <math> f </math> ist im Intervall <math> I = [1, \infty) </math> monoton fallend und es gilt:
:<math> \int \limits_1^\infty \frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = 1. </math>
Das Integral ist also endlich und nach dem Integralkriterium ist die Reihe somit konvergent.

Ähnlich kann die [[harmonische Reihe]] <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}</math> mit <math>f\colon [1,\infty) \to\R, \quad f(x) = \frac{1}{x}</math> als <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math> umgeschrieben werden. Die Funktion <math>f</math> ist im Intervall <math>I=[1,\infty)</math> monoton fallend, das heißt, dass das Integralkriterium angewendet werden kann:
:<math>\int_1^\infty \frac{1}{x}\, \mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} \bigg[\ln(x)\bigg]_1^b = +\infty</math>
Das Integral ist divergent und somit die harmonische Reihe auch.

== Veranschaulichung ==

Das Integralkriterium ist schon durch die Anschauung zugänglich: Gerade die letzte Zeile ähnelt einer populären Begründung des Begriffs des [[Riemann-Integral]]s mithilfe von Ober- und Untersummen.

Weil nach Voraussetzung ja <math>f</math> monoton fällt, ist auf jedem Intervall <math>[q,q+1]</math> (mit einer ganzen Zahl <math>q</math>) <math>f(q)</math> der größte und <math>f(q+1)</math> der kleinste Funktionswert auf diesem Intervall. Weil das Intervall die Breite 1 hat, ist der Flächeninhalt unter <math>f</math> immer kleiner oder gleich <math>f(q) \cdot 1</math> und größer oder gleich <math>f(q+1) \cdot 1</math>. Wenn nun das Integral oder die Reihe konvergiert, so muss auch der jeweils andere Ausdruck konvergieren.

Oder:
Die Reihe <math>\textstyle \sum_{n=p}^\infty f(n) </math> konvergiert, nähert sich also ab <math>p</math> unendlich nahe an den Grenzwert an. Für das Integral bedeutet dies, dass die Fläche nicht mehr größer wird, sondern sich ebenfalls an einen (Flächen)-Wert annähert. Hätte die Fläche gegen unendlich keinen Grenzwert, könnte nie ein Wert für das Integral <math>\textstyle \int_p^\infty f(x)\, \mathrm dx </math> fest gemacht werden und somit das Integral keinen endlichen Wert annehmen, was im Widerspruch zur obigen Definition steht.

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4

[[Kategorie:Konvergenzkriterium]]

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