Umhüllungssatz

2025-06-07T13:45:27Z

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Der '''Umhüllungssatz''' (auch '''Envelope-Theorem''', '''Enveloppen-Theorem''' oder '''Einhüllenden-Satz''' genannt) ist ein grundlegender Satz der [[Variationsrechnung]], der häufig Anwendung in der [[Mikroökonomie]] findet. Er beschreibt, wie sich der Optimalwert der [[Zielfunktion]] eines parametrisierten [[Optimierungsproblem]]s bei Änderung der Parameter verhält.

Man unterscheidet üblicherweise zwischen zwei Versionen des Envelope-Theorems: eine für Optimierungsprobleme ohne und eine für solche mit Nebenbedingungen, wobei die erste Version ein Spezialfall der zweiten ist.

== Darstellung ==
=== Optimierungsproblem ohne Nebenbedingungen ===
{{Kasten|
''(Envelope-Theorem für Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen<ref>Vgl. Simon/Blume 1994, S. 453 f.</ref>:)'' Sei <math>f(\mathbf{x};q)</math> eine stetig differenzierbare Funktion mit <math>\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}</math> und <math>q</math> einem Skalar – kurz: <math>f(\mathbf{x};q)=f(x_{1},\ldots,x_{n};q)</math>. Gegeben ist das Problem

:<math>\max_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x},q)</math>

das eine Lösung <math>\mathbf{x}^{*}(q)=(x_{1}^{*},\ldots,x_{n}^{*})</math> besitzt, welche stetig differenzierbar ist. Dann ist durch <math>v(q)\equiv f(\mathbf{x}^{*}(q);q)</math> die so genannte Optimalwertfunktion von <math>f</math> gegeben (das heißt die ursprüngliche Funktion evaluiert an der – hier nur noch von <math>q</math> abhängigen – Stelle, an der sie ihr Maximum annimmt). Der Umhüllungssatz besagt dann:

:<math>\frac{\mathrm{d}v(q)}{\mathrm{d}q}=\left.\frac{\partial f(\mathbf{x};q)}{\partial q}\right|_{\mathbf x=\mathbf{x}^{*}(q)}</math>
}}

Es zeigt sich, dass bei der Berechnung des Effektes erster Ordnung einer Variation von <math>q</math> auf <math>v(q)=f(\mathbf x(q),q)</math> die Änderung von <math>\mathbf x</math> keinen Einfluss hat.

'''''Erweiterung:''''' Der Satz gilt analog für mehrere Parameter. Es gilt dann für das Maximierungsproblem <math>\max_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x},\mathbf{q})</math> mit <math>f(\mathbf{x};\mathbf{q})=f(x_{1},\ldots,x_{n};q_{1},\ldots,q_{k})</math> (<math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, <math>q\in\mathbb{R}^{k}</math>) und <math>v(\mathbf{q})\equiv f(x_{1}^{*}(\mathbf{q}),\ldots,x_{n}^{*}(\mathbf{q});\mathbf{q})</math> für beliebiges <math>j</math> (<math>1\leq j\leq k</math>):

:<math>\frac{\partial v(\mathbf{q})}{\partial q_{j}}=\left.\frac{\partial f(\mathbf{x};\mathbf{q})}{\partial q_{j}}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}(\mathbf{q})}</math>

=== Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen ===
{{Kasten|
''(Verallgemeinertes Envelope-Theorem für Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen<ref>Vgl. Simon/Blume 1994, S. 455 f.; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 965 f.</ref>:)'' Sei <math>f(\mathbf{x};q)</math> eine stetig differenzierbare Funktion mit <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math> und <math>q</math> einem Skalar – kurz: <math>f(\mathbf{x};q)=f(x_{1},\ldots,x_{n};q)</math>. Gegeben ist das Problem

:<math>\max_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x},q)\quad</math> unter den Nebenbedingungen <math>(g_{1}(\mathbf{x};q)=b_{1},\ldots,g_{m}(\mathbf{x};q)=b_{m})</math>

das eine Lösung <math>\mathbf{x}^{*}(q)=(x_{1}^{*},\ldots,x_{n}^{*})</math> besitzt, welche stetig differenzierbar ist. Es ist <math>\mathcal{L}(\mathbf{x},\mathbf{\lambda};q)\equiv f(\mathbf{x};q)-\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}g_{i}(\mathbf{x},q)</math> die korrespondierende [[Lagrange-Funktion]]. Auch die Langrange-Multiplikatoren <math>\lambda_{1}(q),\ldots,\lambda_{m}(q)</math> seien stetig differenzierbar. Außerdem besitze die Jacobi-Matrix <math>D\mathbf{g}(\mathbf{x}^{*})</math> den Rang <math>m</math>.

Dann ist <math>v(q)\equiv f(\mathbf{x}^{*}(q);q)</math> eine Optimalwertfunktion von <math>f</math> und besagt der Umhüllungssatz:

:<math>\frac{\mathrm{d}v(q)}{\mathrm{d}q}=\left.\frac{\partial \mathcal{L}(\mathbf{x};q)}{\partial q}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}(q)}=\left.\frac{\partial f(\mathbf{x};q)}{\partial q}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}(q)}-\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\left.\frac{\partial g_{i}(\mathbf{x},q)}{\partial q}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}(q)}</math>
}}

'''''Erweiterung:''''' Der Satz ist auch in Fällen mit mehreren Parametern anwendbar. Mit analogen Definitionen gilt dann für beliebiges <math>j</math> (<math>1\leq j\leq k</math>):

:<math>\frac{\partial v(\mathbf{q})}{\partial q_{j}}=\left.\frac{\partial \mathcal{L}(\mathbf{x};\mathbf{q})}{\partial q_{j}}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}(\mathbf{q})}=\left.\frac{\partial f(\mathbf{x};\mathbf{q})}{\partial q_{j}}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}(\mathbf{q})}-\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\left.\frac{\partial g_{i}(\mathbf{x},\mathbf{q})}{\partial q_{j}}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}(\mathbf{q})}</math>

=== Bemerkungen ===
<math>v(\mathbf{q})</math> ist die [[Einhüllende]] der [[Kurvenschar]] <math>\{f(\mathbf x,\mathbf{q}):\mathbf x\in\mathbb{R}^n\}</math>, daher der Name des Satzes.

== Beispiel ohne Nebenbedingungen ==
Sei exemplarisch folgendes Problem gegeben:
:<math>\max_{x}f(x,\mathbf q),\quad \mathbf q\in\mathbb{R}^{2}</math> mit <math>f(x,\mathbf q)=-5x^{2}+10xq_{1}+30xq_{2}+12q_{1}</math>.
Bedingung erster Ordnung des Maximierungsproblems ist
:<math>\frac{\partial f(x,\mathbf q)}{\partial x}=-10x+10q_{1}+30q_{2}\overset{!}{=}0</math>.
Stellt man diese Bedingung um, folgt für das „optimale“ <math>x</math>: <math>x^{*}(\mathbf q)=(10q_{1}+30q_{2})/10=q_{1}+3q_{2}</math>. Setzt man dieses wieder in die ursprüngliche Funktion ein, liefert das die Optimalwertfunktion <math>v(\mathbf q)=f(x^{*}(\mathbf q),\mathbf q)</math>. Es interessiert nun, wie sich diese Optimalwertfunktion ändert, wenn sich <math>\mathbf q</math> verändert. Dies soll zunächst mit dem Umhüllungssatz und zur Illustration danach „direkt“ gezeigt werden. Mit dem Umhüllungssatz folgt sofort:

:<math>\frac{\partial v(\mathbf q)}{\partial q_{1}}=\left.\frac{\partial f(x,\mathbf q)}{\partial q_{1}}\right|_{(x^{*}(\mathbf q),\mathbf q)}=10(q_{1}+3q_{2})+12</math>

und

:<math>\frac{\partial v(\mathbf q)}{\partial q_{2}}=\left.\frac{\partial f(x,\mathbf q)}{\partial q_{2}}\right|_{(x^{*}(\mathbf q),\mathbf q)}=30(q_{1}+3q_{2})</math>

Dasselbe Resultat hätte man auch „direkt“ berechnen können. Hierzu muss man die Optimalwertfunktion allerdings explizit berechnen:

:<math>
\begin{align}
v(\mathbf q) &= -5(q_{1}+3q_{2})^{2}+10(q_{1}+3q_{2})q_{1}+30(q_{1}+3q_{2})q_{2}+12q_{1} \\
&= -5(q_{1}^{2}+6q_{1}q_{2}+9q_{2}^{2})+10q_{1}^{2}+30q_{2}q_{1}+30q_{1}q_{2}+90q_{2}^{2}+12q_{1} \\
&= 5q_{1}^{2}+12q_{1}+30q_{1}q_{2}+45q_{2}^{2}
\end{align}
</math>

Und damit ebenfalls

:<math>
\begin{align}
\frac{\partial v(\mathbf q)}{\partial q_{1}} & = 10q_{1}+12+30q_{2}=10(q_{1}+3q_{2})+12 \\
\frac{\partial v(\mathbf q)}{\partial q_{2}} & = 30q_{1}+90q_{2}=30(q_{1}+3q_{2})
\end{align}
</math>

== Anwendung ==
Eine Anwendung findet sich in der [[Mikroökonomie]]. Dort kann man den Umhüllungssatz sowohl in der Theorie der Unternehmungen als auch in der Theorie der Haushalte einsetzen.

Im Bereich der Theorie der Unternehmungen bezeichnet <math>y(x)</math> die Produktionsmenge in Abhängigkeit vom Input <math>x</math>, so ergibt sich, indem man <math>\mathbf q=(p,w)</math> als den Preisvektor für Output- und Inputgut setzt, und mit <math>f</math> als Produzentengewinn, <math>f(x,p,w)=p y(x) - w x</math>, [[Hotellings Lemma]]. Es ist allerdings auch möglich, das Envelope-Theorem in der Kostenminimierung einzusetzen. Dies funktioniert analog zu [[Shephards Lemma]].

In der Theorie der Haushalte wird das Envelope-Theorem im Zusammenhang mit indirekten [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktionen]] verwendet. Dabei kann leicht mittels [[Roy’s Identität]] analysiert werden, was bei einer Einkommens- oder einer Preisveränderung passiert. Dafür wird die indirekte Nutzenfunktion partiell abgeleitet nach Einkommen und Preis.

== Siehe auch ==
* [[Hicks’sche Nachfragefunktion]]
* [[Roys Identität]]
* [[Shephards Lemma]]

== Weblinks ==
* ''[https://eml.berkeley.edu/~webfac/card/e101a_s05/consumerenvelope.pdf Consumer Theory and the Envelope Theorem]'' (zum Zusammenhang zwischen Envelope-Theorem und anderen mikroökonomischen Konzepten der Haushaltstheorie) (PDF, 0,1 MB)

== Literatur ==
* Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, Jerry Green: ''Microeconomic Theory.'' Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-507340-1. [Zum Umhüllungssatz S. 964–966.]
* Carl P. Simon, Lawrence Blume: ''Mathematics for Economists.'' W. W. Norton, New York und London 1994, ISBN 0-393-95733-0. [Zum Umhüllungssatz S. 453–457.]
* Thorsten Pampel: ''Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler.'' Springer-Verlag 2009, ISBN 3-642-04489-1, Kapitel 15.3: Der Umhüllungssatz

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Umhullungssatz}}
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Mikroökonomie]]
[[Kategorie:Theoreme der Ökonomie]]

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