Moment (Stochastik)

2025-04-28T09:04:56Z

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'''Momente''' von [[Zufallsvariable]]n sind [[Parameter (Statistik)|Parameter]] der deskriptiven [[Statistik]] und spielen eine Rolle in der [[Stochastik]]. Die Begriffe [[Erwartungswert]], [[Varianz (Stochastik)|Varianz]], [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] und [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] zur Beschreibung einer Zufallsvariablen hängen eng mit deren Momenten zusammen.

Die Bestimmung einer Verteilung mit vorgegebenen Momenten wird als das [[Momentenproblem]] bezeichnet, welches auch in der [[Technische Mechanik|technischen Mechanik]] eine große Rolle spielt.

Es gibt Verteilungen, deren Momente nur bis zu einer bestimmten Ordnung existieren. Dazu gehört z. B. die [[Studentsche t-Verteilung|t-Verteilung]], deren Momente nur für Ordnungen existieren, die kleiner als die [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Anzahl der Freiheitsgrade]] sind. Im Spezialfall der [[Cauchy-Verteilung]] existiert also nicht einmal das erste Moment (der Erwartungswert), das ist auch bei der [[Lévy-Verteilung]] der Fall.

== Definition ==
Es sei <math>X</math> eine [[Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>‑ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert):

:<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math>

und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet:

:<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math>

In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet.

Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse.

Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden.

== Darstellung für reelle Zufallsvariable ==

Ist <math>X</math> eine auf einem [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> definierte reelle Zufallsvariable mit der [[Verteilungsfunktion]] <math>F_X(x) = P(X \leq x)</math>, dann folgt aus der Definition des Erwartungswertes als [[Stieltjesintegral]]

:<math> m_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k \, \mathrm{d}F_X(x)</math>.

Ist <math>X</math> eine ''stetige Zufallsvariable'' mit der [[Dichtefunktion]] <math>f_X</math>, dann gilt:

:<math> m_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k f_X(x)\, \mathrm{d} x </math>,

und für eine ''diskrete Zufallsvariable'' mit den Werten <math>x_i</math> und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i = P(X = x_i)</math> ist

:<math> m_k= \sum_{i=1}^\infty x_i^k \cdot p_i </math>.

Mit Hilfe des [[Lebesgue-Integral]]s bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes <math>P</math> lassen sich diese Fälle einheitlich schreiben als

:<math>m_k = \int_{\Omega} X^k \, \mathrm dP</math>.

== Zentrale Momente ==
Neben den oben definierten Momenten werden die ''zentralen Momente'' definiert, bei denen die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse um den Erwartungswert <math>\mu=\operatorname{E}(X)</math> der Zufallsvariablen <math>X</math> betrachtet wird:

:<math> \mu_k := \operatorname{E}\left(\left(X-\mu\right)^k\right) </math>

und

:<math> \bar{\mu}_k := \operatorname{E}\left(\left|X-\mu\right|^k\right). </math>

Sie heißen ''zentrale Momente'', da sie am Erwartungswert <math>\mu</math> [[Zentrierung (Statistik)|zentriert]] sind. Aus der Definition folgt unmittelbar, dass das erste zentrale Moment immer 0 ist:

:<math> \mu_1 = \operatorname{E}\left(X-\mu\right)= \operatorname{E}\left(X\right) - \mu =0. </math>

Das erste zentrale absolute Moment ist die [[Streuungsmaß (Statistik)#Mittlere absolute Abweichung|mittlere absolute Abweichung]]:
:<math> \bar{\mu}_1 := \operatorname{E}\left(\left|X-\mu\right|\right). </math>

Das zweite zentrale Moment ist die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]:
:<math> \mu_2 = \operatorname{E}\left(\left(X-\mu\right)^2\right). </math>

Das dritte zentrale Moment
:<math> \mu_3 = \operatorname{E}\left(\left(X-\mu\right)^3\right)</math>
ergibt nach Normierung mit der Standardabweichung die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] (engl. ''skewness'') (auch 3. normiertes/standardisiertes Moment genannt):
:<math> \mu_3 = \operatorname{E}\left(\left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^3\right). </math>

Das vierte zentrale Moment
:<math> \mu_4 = \operatorname{E}\left(\left( {X - \mu} \right)^4\right). </math>
ergibt nach Normierung mit der Standardabweichung die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] (auch 4. normiertes/standardisiertes Moment genannt):
:<math> \mu_4 = \operatorname{E}\left(\left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^4\right). </math>

Schiefe und Wölbung werden zusammen als ''höhere Momente'' bezeichnet. Die Wölbung wird oft als Maß der Abweichung von der [[Normalverteilung]] benutzt, die Schiefe ist ein Maß der Abweichung von einer [[Symmetrische Verteilung|symmetrischen Verteilung]].

== Momente, charakteristische Funktion und Kumulanten ==
Durch mehrfaches Ableiten der Formel für die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] erhält man eine Darstellung der gewöhnlichen Momente durch die charakteristische Funktion als

:<math>\operatorname{E}(X^{k}) = \frac{\varphi_{X}^{(k)}(0)}{i^{k}} \quad (k=1,2,\dots)</math>

Das <math>k</math>-te Moment kann auch mit der [[Momenterzeugende Funktion|momenterzeugenden Funktion]] ermittelt werden. Außerdem ist es möglich, das <math>k</math>-te Moment als Polynom <math>k</math>-ten Grades durch die ersten <math>k</math> [[Kumulante]]n <math> \kappa_1, \dots, \kappa_k </math> darzustellen. Dieses Polynom ist dann genau das <math>k</math>-te [[Bell-Polynom|vollständige Bell-Polynom]] <math> B_k </math>:
:<math>m_k=B_k(\kappa_1, \dots, \kappa_k) </math>.

== Markow-Ungleichung ==
Die Bedeutung der Momente wird durch folgenden Satz deutlich:

Wenn das <math>k</math>-te absolute Moment <math>M_k</math> der Zufallsvariablen <math>X</math> existiert, dann gilt

:<math> P(|X| \geq x) \leq \frac{M_k}{x^k}</math>.

Das ist die [[Markow-Ungleichung (Stochastik)|Markow-Ungleichung]], die eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit betragsmäßig großer Werte von <math>X</math> liefert. Im Spezialfall <math>k = 2</math> folgt daraus mit der Varianz <math>\sigma^2</math> von <math>X</math> die bekannte [[Tschebyscheffsche Ungleichung]]

:<math> P(|X - \operatorname{E}(X)| \geq x) \leq \frac{\sigma^2}{x^2}</math>,

die eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit großer Abweichungen der Zufallsvariablen <math>X</math> von ihrem Erwartungswert macht.

== Verbundmomente ==
Der Momentenbegriff lässt sich auch auf mehrere Zufallsvariablen erweitern. Im Falle zweier Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> sind die gemeinsamen Momente (engl. ''joint moments'') von <math>X</math> und <math>Y</math>
:<math>m_{k \ell} = \operatorname E\left(X^k Y^\ell\right)</math>.
Analog werden die zentralen gemeinsamen Momente von <math>X</math> und <math>Y</math> als
:<math>\mu_{k \ell} = \operatorname{E}\left( (X - \operatorname{E}(X))^k (Y - \operatorname{E}(Y))^\ell \right)</math>
definiert.
Insbesondere ist <math>\mu_{11}</math> die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] von <math>X</math> und <math>Y</math>.

Im Fall einer [[Gemeinsame Dichte|gemeinsamen Dichte]] <math>f_{XY}</math> gilt
:<math>m_{k \ell} = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} x^k y^\ell f_{XY}(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>.

== Berechnung ==
Ein Näherungsverfahren zur Berechnung von Momenten ist die [[First-order second-moment Methode]].

== Siehe auch ==
* [[Momentenmethode]]
* [[Kumulante]]

== Literatur ==
* Athanasios Papoulis, S. Unnikrishna Pillai: ''Probability, Random Variables, and Stochastic Processes''. McGraw-Hill Publishing Co.; 4Rev Ed edition (2002), ISBN 0-07-366011-6.

[[Kategorie:Stochastik]]

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