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Fontanelle (Instrumentenbau)

2022-01-17T15:24:54Z

143.50.47.158: /* Schutz */

Im Instrumentenbau versteht man unter einer '''Fontanelle''' eine Form der Klappenabdeckung an historischen Holzblasinstrumenten der [[Renaissance]] und deren Repliken heutiger Zeit.

Sie findet sich zum Beispiel an Pommern oder Renaissance-[[Blockflöte]]n tieferer Lage, welche mit einer oder mehreren Klappen versehen sind. Ihrem Zweck liegen wahrscheinlich zwei Motive zu Grunde.

== Optik ==

An erhaltenen Instrumenten, welche heute in Museen zu finden sind, kann man sehr gut die damalige Fertigungsweise der Klappen am Instrument nachvollziehen. Fast allen gemein ist ihre klare Funktionalität, jedoch mangelt es vielen an Schönheit. Unklar ist, ob die Optik vernachlässigt wurde, weil eine Fontanelle darüber kam, oder eine Fontanelle gebaut wurde, um die hässliche Klappe zu verdecken. Am handwerklichen Geschick sollte es nicht gescheitert sein, eine schöne Klappe zu bauen.

== Schutz ==

Das wahrscheinlichste Motiv ist der Klappenschutz. Klappen waren zu jener Zeit sehr teuer und nur von wenigen zu fertigen. In der Renaissance besaßen die Musiker selten feste Koffer oder Etuis, um ihre Instrumente adäquat zu schützen. Oftmals wurde das Instrument einfach in ein Tuch gewickelt oder einen Beutel gesteckt. Um ein Verhaken und Abbrechen der teuren Klappe zu vermeiden, wurde bei vielen Instrumenten die Fontanelle angebracht.

[[Kategorie:Bauteil (Holzblasinstrument)]]

Schwarzlinienschnitt

2021-09-29T08:54:58Z

143.50.47.158:

Der '''Schwarzlinienschnitt''' ist die dominierende Form der [[Holzschnitt|Holzschnitt-Technik]]. Der Holzblock wird so bearbeitet, dass die Linien und Flächen der Zeichnung als Grate, Stege oder Inseln stehenbleiben. Die erhabenen Teile, die anschließend mit Druckfarbe eingefärbt werden, geben also positiv die ursprüngliche Zeichnung in Linien und Schwarzflächen wieder.
Dies unterscheidet den Schwarzlinienschnitt vom [[Weißlinienschnitt]], der sich im 16. Jahrhundert entwickelte.
Bei Technik des Schwarzlinienschnitts entstehen nur [[Schraffur|Plastizitätsschraffuren]], aber keine Tönungen. Kommen diese doch hinzu, so spricht man vom ''farbigen Faksimileschnitt'', sofern das [[Grafik|grafische]] Element der Schwarzzeichnung dabei im Vordergrund steht und die Töne dann ähnlich einer [[Kolorierung]] zu diesem Gerüst hinzu kommen. Das „farbig“ bei dieser Schnitttechnik ist nicht wörtlich zu nehmen, da es sich hier nicht um Mehrfarbigkeit handelt. Die Vorlage ist hierbei eine kolorierte oder lavierte Zeichnung. Wird eine Kreidezeichnung wiedergegeben, verwendet man die ''Kornmanier'', bei der die Linien durch nachträgliches, unregelmäßiges Zerschneiden gebrochen (''gekörnt'') werden.

== Literatur ==

* Hans Ries:Illustration und ''Illustratoren des Kinder- und Jugendbuchs im deutschsprachigen Raum 1871–1914''. H. TH. Wenner: Osnabrück, 1992, ISBN 3-87898-329-8

[[Kategorie:Holzschnitt]]

Abelscher Grenzwertsatz

2021-08-26T14:55:27Z

143.50.47.158:

Der '''Abelsche Grenzwertsatz''' ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der [[Analysis]]. Er beschreibt, unter welchen Bedingungen sich eine als [[Potenzreihe]] definierte Funktion [[Stetige Funktion|stetig]] auf die Ränder des [[Konvergenzbereich|Konvergenzintervalls]] fortsetzen lässt, und lautet wie folgt:

: ''Sei <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert die Potenzreihe <math> \sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math> auf dem Intervall <math>[0,1]</math> und die durch sie definierte Funktion <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math> ist stetig auf <math>[0,1]</math> mit <math>f(1)=\sum_{n=0}^\infty a_n </math>''.

== Anwendung ==
Die [[Umkehrfunktion]] der [[Tangensfunktion]] besitzt auf dem Intervall <math>(0,1)\subset(-1,1)</math> die folgende Darstellung als Potenzreihe:
: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math>.

Die Reihe <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}</math> konvergiert nach dem [[Leibniz-Kriterium]]. Da <math>\tan(\tfrac{\pi}{4})=1</math>, liefert der abelsche Grenzwertsatz die Identität
:<math>\frac{\pi}{4}= \arctan(1)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}</math>.

== Literatur ==
* Kurt Endl, Wolfgang Luh: ''Analysis II. Eine integrierte Darstellung.'' 7. Auflage. Aula-Verlag Wiesbaden 1989, S. 205.
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis''. Teil 1. 6. Auflage. Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 367.
* ''Vieweg Mathematik Lexikon''. Vieweg-Verlag, (1988).

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=AbelsConvergenceTheorem |title=verallgemeinerte Version des Abelschen Grenzwertsatzes}}
* {{PlanetMath |id=abelslimittheorem |title=Abel’s limit theorem}}
* {{PlanetMath |id=proofofabelslimittheorem |title=Proof of Abel’s limit theorem}}

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Niels Henrik Abel]]

Pascalsches Simplex

2021-06-28T10:38:50Z

143.50.47.158:

Die '''pascalschen Simplizes''' sind – analog zum [[Pascalsches Dreieck|pascalschen Dreieck]] und zum [[Pascalsche Pyramide|pascalschen Tetraeder]] – geometrische Darstellungen von [[Multinomialkoeffizient|Multinomialkoeffizienten]]. Im pascalschen d-[[Simplex (Mathematik)|Simplex]] ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.<ref>Peter Hilton, Derek Holton, Jean Pedersen: ''Mathematical Vistas. From a Room with Many Windows.'' Springer, New York u. a. 2002. ISBN 978-0-387-95064-8. S. 188–190.</ref>

==Zum Begriff==
Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension <math>d</math> (<math>d\geq 1</math> natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient <math>\binom{n}{k_1,\ldots,k_d}</math> zuordnen (<math>n, k_1,\ldots,k_{d-1}</math> sind die jeweiligen Koordinaten, <math>k_d</math> ergibt sich durch <math>n-k_1-\ldots-k_{d-1}</math>). Die [[konvexe Hülle|Einhüllende]] der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein <math>d</math>-dimensionales, in <math>n</math>-Richtung un[[beschränkt]]es „Simplex“ (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

==Eigenschaften==
* Die <math>n</math>-te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes <math>n</math>) für <math>n>0</math> lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für <math>n-1</math>) berechnen: <math>\binom{n}{k_1,\ldots,k_d}=\binom{n-1}{k_1-1,\ldots,k_d}+\binom{n-1}{k_1,k_2-1,\ldots,k_d}+\ldots+\binom{n-1}{k_1,\ldots,k_d-1}</math>. Auf der Ebene <math>0</math> ist der einzige Eintrag eine <math>1</math>, aus dem sich dann [[rekursiv]] alle weiteren ergeben.
* Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt <math> d^{n-1} </math>.
* Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch <math>\binom{n}{k_1,...,k_{d-1},0}=\binom{n}{k_1,...,k_{d-1}}</math> ausdrücken.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Diskrete Mathematik]]
[[Kategorie:Blaise Pascal als Namensgeber]]

Jug (Instrument)

2021-05-14T13:00:55Z

143.50.47.158:

[[Datei:Jugplayer.jpg|miniatur|links|Jug-Spieler Mark Sherepita der ''Smokin' Fez Monkeys'' aus [[Cleveland (Ohio)|Cleveland]]]]
[[Datei:Cannon'sJugStompers.jpg|miniatur|Bei Cannon’s Jug Stompers bediente der Banjospieler gleichzeitig den Jug]]
Ein '''Jug''' ist ein einfaches, aus einem [[Krug (Gefäß)|Tonkrug]] gefertigtes [[Bass (Instrument)|Bass]]-Begleitinstrument. Er ist eines der frühen [[Afroamerikaner|afroamerikanischen]] Musikinstrumente.

Um einen Bassklang zu erzeugen, bläst man in den Krug stoßweise hinein, wobei die Lippen gespannt sind und vibrieren, ohne den Krug zu berühren. Eine andere Möglichkeit ist, mit einem Lappen in der einen Hand auf die Krugöffnung zu schlagen, während die andere Hand die Öffnung teilweise abdeckt, um die Tonhöhe zu regulieren.

Der Jug war besonders in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts im [[Blues]] beliebt (''[[Jug-Band]]'', ''[[Jug-Musik]]'').

Eine besondere Form des Jug, den ''electric jug'', benutzte in den 1960er-Jahren Tommy Hall von der US-[[Psychedelic Rock|Psychedelic-Rock]]-Band ''[[The 13th Floor Elevators]]'' gleichsam als zweiten Bass. Seine Verwendung gab dem Sound der ''Elevators'' einen ganz besonderen vibrierenden und schwebenden Klang.

[[Kategorie:Aerophon]]

Lindeberg-Bedingung

2021-05-05T08:54:52Z

143.50.47.158: /* Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen */

Die '''Lindeberg-Bedingung''' ist ein Begriff aus der [[Stochastik]]. Erfüllt eine Folge von [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängigen]] [[Zufallsvariable]]n diese Bedingung, so gilt für sie der [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentrale Grenzwertsatz]], auch wenn die Zufallsvariablen nicht zwingenderweise identisch verteilt sind. Allgemeiner lässt sich die Lindeberg-Bedingung auch für [[Schema von Zufallsvariablen|Schemata von Zufallsvariablen]] formulieren, hier ist dann sogar ein gewisses Maß an Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen zulässig. Diese Formulierung spielt eine wichtige Rolle im [[Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller|zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller]], einer Verallgemeinerung des "gewöhnlichen" zentralen Grenzwertsatzes.

Die Lindeberg-Bedingung wurde nach dem finnischen Mathematiker [[Jarl Waldemar Lindeberg]] benannt. Eine weitere hinreichende Bedingung für den zentralen Grenzwertsatz ist die [[Ljapunow-Bedingung]].

== Formulierung für Folgen von Zufallsvariablen ==
Seien <math>X_1, X_2, X_3, \ldots</math> unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit <math>{\sigma_n}^2 := \mbox{Var}(X_n)>0</math> für alle <math>n\in\mathbb N</math> und seien
:<math>s_n:=\sqrt{\sum_{k=1}^n {\sigma_k}^2} \quad,\quad \mu_n:=\mbox{E}(X_n)</math>.

Gilt dann die ''Lindeberg-Bedingung''
:<math>\forall\ \varepsilon>0:\quad \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \mbox{E}\left(\frac{(X_i - \mu_i)^2}{s_n^2} \cdot 1_{\left\{| X_i - \mu_i| > \varepsilon s_n\right\}}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_n^2}\sum_{i=1}^n \int_{\left\{| x - \mu_i| > \varepsilon s_n\right\}} (x-\mu_i)^2 P_{X_i}(dx) = 0</math> ,

wobei <math>1_T</math> die [[Indikatorfunktion]] bezeichnet, so genügt die Folge <math>(X_i)_{i}</math> dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], d. h. die Größe
:<math>\frac{1}{s_n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu_i)</math>
[[Verteilungskonvergenz#Schwache Konvergenz|konvergiert in Verteilung]] für <math>n\to\infty</math> gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgröße <math>Z\sim\mathcal N(0,1)</math>, sprich
:<math>\forall\ z\in\mathbb R:\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\mbox{P}\left(\frac1{s_n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu_i)\leq z\right) = \mbox{P}(Z\leq z) = \Phi(z)</math> ,
wobei hier <math>\Phi</math> die [[Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] beschreibt.

== Umkehrung ==
Die Umkehrung des obigen Sachverhaltes gilt i. A. nicht. Hierfür ist eine zusätzliche Forderung an die Folge <math>X_1, X_2,\dots</math> notwendig:

Die unabhängige Folge <math>(X_i)_i</math> quadratisch integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit <math>\sigma_i^2>0\ \forall i</math> genüge dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]] und erfülle weiter die '''Feller-Lévy-Bedingung'''<ref>{{MathWorld| id = Feller-LevyCondition| title = Feller-Lévy Condition| author = }} </ref>
:<math>\lim_{n\to\infty}\left(\max_{j\in\{1,...,n\}} \frac{\sigma_j}{s_n}\right) = 0</math> .
Dann erfüllt die Folge <math>(X_i)_i</math> auch die ''Lindeberg-Bedingung''.

== Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen ==
Gegeben sei ein [[zentriertes Schema]] von Zufallsvariablen <math> (X_{n,l}), n\in \mathbb{N}, l = 1, \ldots, k_n</math>, bei dem jede Zufallsvariable <math> X_{n,l} </math> quadratintegrierbar ist, und seien
:<math> S_n:=\sum_{l=1}^{k_n}X_{n,l} </math>

die Summen über die zweiten Indizes. Das Schema erfüllt nun die Lindeberg-Bedingung, wenn für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> gilt, dass
:<math> \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\operatorname{Var}(S_n)}\sum_{l=1}^{k_n} \operatorname E \left( X_{n,l}^2\chi_{\{X^2_{n,l}> \varepsilon^2 \operatorname{Var}(S_n)\}}\right) = 0 </math>

ist.

== Literatur ==
* [[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]: ''Wahrscheinlichkeitstheorie''. De Gruyter, Berlin/New York 2002, ISBN 3110172364, S. 239.
* J. W. Lindeberg: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN266833020_0015 Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung]. In: ''Mathematische Zeitschrift'', Band 15, 1922, S. 211–225.
* {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* {{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}

== Weblink ==
* Eric W. Weisstein: [https://mathworld.wolfram.com/LindebergCondition.html ''Lindeberg Condition.''] auf MathWorld.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]

Satz von Orlicz-Pettis

2021-04-23T15:22:43Z

143.50.47.158:

Der '''Satz von Orlicz-Pettis''' (nach [[Władysław Orlicz]] und [[Billy James Pettis]]) ist ein Satz aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]]. Er erlaubt es, in einer bestimmten Situation von der [[Schwache Konvergenz|schwachen Konvergenz]] auf die [[Normierter Raum|Normkonvergenz]] in [[Banachraum|Banachräumen]] zu schließen.

In unendlich-dimensionalen Banachräumen ist die [[schwache Topologie]] echt schwächer als die [[Normtopologie]]. Ist zum Beispiel <math>e_n</math> der <math>n</math>-te Basisvektor im [[Hilbertraum]] <math>\ell^2</math>, d. h. diejenige Folge, die an der <math>n</math>-ten Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen eine 0 hat, so konvergiert die Folge <math>(e_n)_n</math> bezüglich der schwachen Topologie gegen 0. Jedes stetige [[Lineares Funktional|lineare Funktional]] <math>f\in (\ell^2)^'</math> hat nämlich nach dem [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]] die Gestalt <math>f(\cdot)=\langle\cdot,\xi\rangle</math> für ein <math>\xi = (\xi_k)_k\in \ell^2</math>, und daher gilt <math>f(e_n) = \langle e_n,\xi\rangle = \xi_n \rightarrow 0</math>. Die Folge <math>(e_n)_n</math> kann aber nicht bezüglich der Norm konvergieren, denn ein möglicher Normlimes müsste ebenfalls 0 sein, aber es gilt <math>\|e_n\|=1</math> für alle Indizes <math>n</math>.

Für [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] in Banachräumen sieht die Situation genauso aus. Setzt man in obigem Beispiel <math>x_1=e_1</math> und <math>x_n := e_n-e_{n-1}</math> für <math>n>1</math>, so ist <math>\sum_{n=1}^N x_n\,=\,e_N</math>. Daher konvergiert die Reihe <math>\sum_n^\infty x_n</math> in der schwachen Topologie (gegen 0), aber nicht in der Normtopologie.

Eine Reihe <math>\Sigma_n x_n</math> heißt ''teilreihenkonvergent'', wenn jede Teilreihe konvergiert, das heißt, wenn <math>\Sigma_m x_{n_m}</math> für jede Folge <math>n_1 < n_2 < n_3 < \cdots</math> konvergiert. Für teilreihenkonvergente Reihen besteht der beschriebene Unterschied zwischen schwacher Konvergenz und Normkonvergenz nicht mehr, genau das ist der Inhalt des hier vorgestellten Satzes:

'''Satz von Orlicz-Pettis''':
:''Eine bezüglich der schwachen Topologie teilreihenkonvergente Reihe in einem Banachraum ist auch bezüglich der Normtopologie teilreihenkonvergent''.

Dieser Satz wurde zunächst 1929 von Orlicz<ref>W. Orlicz: ''Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen'', Studia Math. Band 1, (1929), Seiten 241–255</ref> bewiesen und unabhängig davon 1938 von Pettis<ref>B. J. Pettis: ''On Integration in Vector Spaces.'' Trans. Amer. Math. Soc. Band 44 (1938), Seiten 277–304</ref>.
Moderne Beweise<ref>Joseph Diestel: ''Sequences and Series in Banach Spaces.'' 1984, ISBN 0-387-90859-5</ref> benutzen das [[Bochner-Integral]]. Umgekehrt war die vektorwertige Integrationstheorie gerade die Motivation für Pettis, sich mit diesem Satz zu beschäftigen.
Dieser Satz hat eine ganze Reihe von Verallgemeinerungen erfahren, man spricht dann von Sätzen vom Orlicz-Pettis-Typ. So gilt z. B. in [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räumen]], dass die teilreihenkonvergenten Reihen bezüglich der schwachen Topologie und bezüglich der [[Mackey-Topologie]] zusammenfallen<ref>P. Dierolf: ''Theorems of the Orlicz-Pettis Type for Locally Convex Spaces'', Manuscripta Mathematica, Band 20 (1977), Seiten 73–94</ref>.
== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Orlicz-Pettis, Satz von]]

Vitis (Rangabzeichen)

2021-04-13T15:48:23Z

143.50.47.158:

[[Datei:GrabmedaillonCanturio.jpg|miniatur|Darstellung eines Centurios mit Vitis auf einem Grabmedaillon aus [[Flavia Solva]]]]
Die '''Vitis''' war ein aus [[Reben]]holz gefertigter Stab, der von römischen [[Centurio]]nen als Zeichen ihres Ranges getragen wurde.

Dieser spazierstockgroße Stab wurde von jedem Centurio an der rechten Seite getragen. Er war ein Symbol des Ranges, den der Centurio bekleidete, und konnte auch als [[Militärrechtswesen im antiken Rom|Bestrafungsinstrument]] dienen. Zweites Rangzeichen des Centurio war der Helm mit quergestelltem Helmbusch (''[[Crista (Helm)|crista transversa]]'').
[[Datei:Grabstein Titus Calidius Carnuntum.jpg|miniatur|links|Die Vitis auf dem Grabstein des Centurio [[Titus Calidius Severus]] aus [[Carnuntum (Zivilstadt)|Carnuntum]] (mittleres [[Register (Kunst)|Register]] Mitte), daneben ein Helm mit quergestelltem Helmbusch]]
Die ''Vitis'' als Abzeichen der Macht wird etwa bei [[Plinius der Ältere|Plinius]] angesprochen.<ref>Plinius, ''[[Naturalis historia]]'' 14, 19.</ref> Ein Fall vom harten Einsatz der ''Vitis'' ist bei [[Publius Cornelius Tacitus|Tacitus]] überliefert: In einem Militärlager in der römischen Provinz [[Pannonien]] wurde im Jahr 14 n. Chr. der Centurio Lucilius in einem Aufruhr ermordet, {{"|dem der Soldatenwitz den Beinamen ‚Noch einen‘ [''cedo alteram''] gegeben hatte. Denn hatte er seine vitis auf dem Rücken eines Soldaten entzwei geschlagen, pflegte er mit lauter Stimme nach einer neuen und immer wieder einer neuen zu rufen.}}<ref>Tacitus, ''[[Annales (Tacitus)|Annales]]'' 1, 23.</ref>

== Literatur ==
* [[Victor Chapot]]: ''[http://dagr.univ-tlse2.fr/sdx/dagr/feuilleter.xsp?tome=5&partie=1&numPage=939&nomEntree=VITIS Vitis].'' In: ''[[Dictionnaire des Antiquités Grecques et Romaines]]''. Bd. 5, Paris 1919, S. 929.
* [[Hannsjörg Ubl]]: ''Waffen und Uniform des römischen Heeres der Prinzipatsepoche nach den Grabreliefs Noricums und Pannoniens''. Dissertation Universität Wien 1969, S. 416–434 = ''Waffen und Uniform des römischen Heeres der Prinzipatsepoche nach den Grabreliefs Noricums und Pannoniens'' (= ''Austria antiqua'' Bd. 3). Uni-Press Graz, Graz 2013, ISBN 978-3-902666-29-1, S. 231–240.
* [[Stefan F. Pfahl]]: ''Rangabzeichen im römischen Heer der Kaiserzeit.'' Wellem, Düsseldorf 2012, ISBN 978-3-941820-12-8, S. 20–24.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Römische Militärgeschichte]]
[[Kategorie:Züchtigungsinstrument]]