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Kronenburg (Dossenheim)

2025-05-29T17:42:24Z

141.70.80.5: Schreibfehler: „dass“ ist falsch, es muss „das“ heißen

{{Infobox Burg
|Name = Kronenburg
|Bild = AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 25.jpg
|Bildbeschreibung = Blick vom Spornende auf die Reste der Westburg. Rechts im Bild die weitere Burganlage auf dem gesamten Sporn.
|Alternativname = Altes Schlössel, Rotenburg, Neubrücker Schlössel <small>(beide neuzeitlich)</small>
|Entstehungszeit = spätestens 12. Jahrhundert
|Typologie n. geo. Lage = [[Höhenburg]], [[Spornburg]]
|Erhaltungszustand = Mauerreste, Gräben, Wälle
|Ständische Stellung = unbekannt
|Mauerwerksmerkmale = Sandstein
|Heutiger Ortsname = [[Dossenheim]]
|Breitengrad = 49.453
|Längengrad = 8.696
|Region-ISO = DE-BW
|Poskarte =
|Höhenordinate = 303.7
|Höhe-Bezug = DE-NN
}}
Als '''Kronenburg''' (eigentlich korrekt '''Altes Schlössel''') wird der [[Burgstall]] einer Mehrfach[[burg]] bei [[Dossenheim]] im [[Rhein-Neckar-Kreis]] im Nordwesten [[Baden-Württemberg]]s an der [[Badische Bergstraße|badischen Bergstraße]] bezeichnet.

== Lage ==
[[Datei:AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 29.jpg|mini|links|Schnee- und nebelverhangener Blick auf den Sporn der Burganlage aus dem nördlichen Mühlbachtal. Die Anlage nimmt die komplette Länge des Bergsporns ein.]]
Die Überreste der [[Höhenburg]]anlage liegen in etwa 300 Metern Höhe auf einem Sporn im [[Odenwald]], der das Dossenheimer Mühltal im Westen zerteilt und nördlich und südlich von zwei Quellbächen umflossen wird. Im Tal südlich verläuft ein alter Weg ins [[Neckar]]- und [[Steinach (Neckar, Neckarsteinach)|Steinachtal]]. Nicht weit entfernt im Nordwesten liegt die [[Schauenburg (Dossenheim)|Schauenburg]], die Ruinen des sogenannten [[Mauersechseck (Dossenheim)|Mauersechsecks]] befinden sich südwestlich im [[Gewann]] „im Wolfsgrund“.<ref>Christian Burkhart: ''Entdeckung, Erforschung und Erhaltung des sogenannten „Mauersechsecks“ im Wolfsgrund bei Dossenheim an der Bergstraße.'' In: ''Der Odenwald. Zeitschrift des [[Breuberg-Bund]]es'' 43/1, 1996, S. 3–19.</ref>

== Geschichte ==
Die Burgengruppe konnte bislang nicht historisch eingeordnet werden. Vermutungen, dass es sich um Vorgängerbauten der Schauenburg handelt, konnten bisher nicht belegt werden.<ref>Thomas Steinmetz: ''Burgen im Odenwald.'' Verlag Ellen Schmid, Brensbach 1998, ISBN 3-931529-02-9, S. 29 f.</ref> [[Regest|Urkundliche Erwähnungen]] existieren nicht.

Teilweise wird die Auffassung vertreten, dass die Burg eine [[frühmittelalter]]liche Gründung war, die als eine der wenigen Anlagen in eine Adelsburg umgebaut wurde.<ref>West- und Süddeutscher Verband für Altertumsforschung: ''Führer zu archäologischen Denkmälern in Deutschland'', Bände 36–37, Schriftenreihe Stiftung Herzogtum Lauenburg, Stiftung Herzogtum Lauenburg, Theiss-Verlag, 1983, S. 93</ref>

Der Baubefund lässt auf das 11. oder frühe 12. Jahrhundert schließen. Der Name ''Kronenburg'' entstammt einer fälschlichen Zuordnung aus der Mitte des 19. Jahrhunderts durch den Dossenheimer Pfarrer Wolf, der die Burg mit den [[Kronenburg (Adelsgeschlechtt)|Herren von Kronenburg]] in Verbindung brachte, die jedoch erst Besitz in und um Dossenheim erwarben, als die Burg längst verfallen war. Leider ist von da an der Name für die Burg in die Literatur eingegangen. Der traditionelle Name ist ''Altes Schlössel'' und nicht zu verwechseln mit dem ehemaligen ''[[Schlössel (Dossenheim)|Schlössel]]'' in der Dossenheimer Altstadt.

== Anlage ==
=== Spornburg ===
[[Datei:Altes Schlössel Dossenheim Grundriss.jpg|mini|Schematischer Grundriss der Burgruine]]
Von den Bauwerken haben sich nur spärliche Überreste erhalten. Die künstliche Formung des heute baumbewachsenen Geländes zeichnet sich aber deutlich ab.
Wie die [[Randenburg (Spessart)|Randenburg]] im [[Spessart]], die [[Ehrenburg (Vöhl)|Ehrenburg]] am [[Edersee]], die [[Burg Eberbach]]<ref>Die Schauenberger konnten durch Heirat von ''Gerhard von Schauenburg'' mit einer Tochter von ''Boppo (V.) [[Grafen von Lauffen|von Lauffen]]'' um 1216 bis 1219 ihren Besitz um einen Teil des Lauffener Erbes bedeutend erweitern. Die Lauffener Burg Eberbach weist hohe Gemeinsamkeiten zur Kronenburg auf. Nachzulesen bei: Hansmartin Schwarzmaier: ''Geschichte der Stadt Eberbach am Neckar'', Band 1, Verlag Jan Thorbecke, Sigmaringen 1986, S. 51</ref> am [[Neckar]]knie und in Teilen auch die noch kaum erforschte [[Burgschell]] im [[Odenwald]] ist sie eine mehrfach gegliederte Burg oder aus mehreren Einzelburgen bestehende Anlage auf einem [[Bergsporn]] mit früher Zeitstellung für den Burgenbau in der jeweiligen betreffenden Region.

Die West-Ost (Sporn-Bergseite) ausgerichtete Anlage ist dreigliedrig und jeweils mit einem [[Halsgraben]] voneinander und zur Bergseite getrennt.
Die beiden Teilburgen auf dem polygonalen Plateau weisen Durchmesser von je etwa 40 Metern auf. In den 1930er Jahren wurden die Fundamente der [[Ringmauer]]n freigelegt. Darin zeichnete sich die [[Grundmauer]]n eines Gebäudes ab. Zwischen den beiden Burgen gefundene Mauerreste werden teilweise als [[Vorburg]] interpretiert. Die Burganlage hatte mit Dimensionen von ca. 220 × 60 m eine Fläche von etwa 1,3 ha.

Da sich keinerlei Hinweise auf [[Buckelquader]] in den Ruinen finden, die im Odenwald spätestens Ende des 12. Jahrhunderts geläufig sind, lässt sich dies gut zur spätesten [[Datierung]] der Burg heranziehen.

=== Ostburg ===
Die Ostburg ist vom Sattel durch zwei Vorwälle und einen tiefen Halsgraben getrennt. Im Norden und Westen ist sie von einem kleinen Wall umgeben, der sich bis zum Bau einer Forststraße wahrscheinlich im Süden fortsetzte. Von der Ringmauer sind nur noch lose Schuttwälle vorhanden. Auf dem [[polygon]]alen Plateau mit 60 Metern Länge und 45 Metern Breite deuten sich im Westen die Grundrisse eines Rundbaus, eines von Suchgrabungen zerwühlten Gebäudes und einer Grube an. Bei dem vermuteten Gebäude im Süden, das auf einer etwa einem Meter tiefer gelegenen Terrasse liegt, finden sich oberirdisch noch zahlreiche Ziegelscherben einer möglichen Bedachung. Die südlich gelegene Burgmauer ist heute nur durch einen kleinen Abbruch sichtbar. In einem hier verlaufenden Fußpfad finden sich jedoch neben Steinhäufungen der abgebrochenen Ringmauer auch Ziegelstücke, die die Annahme einer Randbebauung zulassen.
<gallery>
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 03.jpg|Nördlichster Halsgraben als Schutz gegen den Berghang. Aufstieg zum Plateau der Ostburg
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 04.jpg|Blick nach Nordosten über den Halsgraben gegen den Berghang. Davor neuzeitlicher Forstweg.
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 08.jpg|Ostburg; Vertiefung im nördlichen Teil (Turm?)
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 10.jpg|Grundmauerreste eines Gebäudes im nördlichen Teil der Ostburg
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 11.jpg|Reste eines Gebäudes auf der südlich leicht tieferliegenden Terrasse der Ostburg
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 12.jpg|Dachziegelreste am selben Platz mit rundem Spielstein mit Markierungen
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 09.jpg|Stein mit 2 künstlichen Vertiefungen
</gallery>

=== Westburg ===
Etwa 30 Meter westlich liegt etwas tiefer die Westburg. Sie war allseitig von einem [[Burggraben|Ringraben]] umgeben. Dieser ist im Norden nur noch als [[Terrasse (Geländeform)|Terrassenstufe]] sichtbar, nach Osten zum mittleren Teil als bogenförmiger Halsgraben ausgebaut, der, noch sichtbar, zu beiden Seiten komplett befestigt war. Auf dem Burgplateau sind im Westen an der Spornseite deutlich zwei noch vorhandene Eckmauern des Gebäudes sichtbar, das wohl aus mindestens zwei Räumen bestanden haben muss. Der große Restteil der Steinsetzung liegt als lose Ansammlung in einem rechteckigen Grundriss, der in jüngerer Zeit durch Besucher umgeschichtet bzw. zerstört wurde. Erosion zu den drei Spornseiten tut ein Übriges. Das westlichste Gebäudeteil muss sich an die Spornseite der Ringmauer angelehnt haben, während sich zum Halsgraben deutliche Steinreste einer weiteren Bebauung finden. Möglicherweise war die Westburg nahezu komplett bebaut. Der Verlauf der polygonalen inneren Ringmauer ist noch deutlich sichtbar.
<gallery>
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 21.jpg|Spornende, Ringwall und Ringgraben mit Blick auf die Burgruine der Westburg
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 18.jpg|Südwestliche Mauerecke der inneren Ringmauer der Westburg
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 39.jpg|Zerwühltes Burgplateau der Westburg
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 37.jpg|Plateau der Westburg von der südöstlichen Ecke aus gesehen
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 19.jpg|Raubgräberreste: Metallreste einer Spitzhacke
</gallery>

=== Mittlerer Teil ===
Während auf der Spornseite (Westburg, ''Altes Schlössel'' genannt) deutliche Mauerspuren zum von der Westburg trennenden Halsgraben sichtbar sind, betrifft das für den mittleren Teil nur den halbkreisförmig verlaufenden Rand des Halsgrabens Richtung Westen und eine etwa Dutzend Meter vom Halsgraben entferntes den mittleren Teil Nord-Süd durchlaufendes Mauerstück. Es wird angenommen, dass sich dazwischen ein [[Zwinger (Architektur)|Zwinger]] befand. Schemenhaft ist aber noch die Ummauerung des gesamten mittleren Teils zu erahnen. Nur [[Archäologie|archäologische]] Untersuchungen könnten Auskunft über die Bedeutung des Mittelteils geben, ob es eine eigene Anlage beinhaltete oder nur als befestigter Zwischenteil West- und Ostburg trennte. Gebäudestrukturen lassen sich oberflächlich nicht feststellen.
<gallery>
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 14.jpg|Blick vom Mittelteil der Burg über den verflachten Halsgraben zum höherliegenden Plateau der Ostburg
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 31.jpg|Blick von der Ostburg über den flachen Halsgraben und das Plateau der Mittelburg Richtung Westburg
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 32.jpg|Querendes Mauerstück am westlichen Ende der Mittelburg
AltesSchloessel-Kronenburg-Dossenheim 40.jpg|Mauerteil am Halsgraben zwischen Mittelburg und Westburg
</gallery>

=== Gegenburg ===
In einer Entfernung von 270 m ostnordöstlich des östlichen Halsgrabens der Ostburg der Kronenburg liegen hangaufwärts die Überreste einer [[Schanze (Festungsbau)|Schanze]] ({{Coordinate|simple=y|NS=49.4536413 |EW=8.7008667 |type=landmark|region=DE-BW|name=Schanze}}), die als [[Belagerungsburg|Belagerungsschanze]] gedeutet wird. Sie ist im Außenmaß ca. 30 m × 30 m groß und wird zur Bergseite hin durch einen Halsgraben, einen Ringwall und einen zusätzlichen Ringgraben geschützt. Die Schanze hält sich im unteren Entfernungsbereich einer typischen [[Blide]]nschanze. Ein sich durch sie ziehender Mountainbike-Trail aus jüngerer Zeit hat sie stark gestört.<ref>B. Schröder, Th. Steinmetz: ''Die Anlagen der „Kronenburg“ bei Dossenheim an der Bergstraße''. In: Burgen und Schlösser, 1983, Jahrgang 11, S. 87 ff.</ref><ref>[http://www.morgenweb.de/region/mannheimer-morgen/ladenburg/rhein-neckar/biker-zerstoren-alte-schanze-1.605054 Biker zerstören alte Schanze], Mannheimer Morgen, Ausgabe vom 11. Juni 2012; abgerufen am 16. Juni 2015.</ref>

== Literatur ==
* Thomas Biller: ''Burgen und Schlösser im Odenwald: Ein Führer zu Geschichte und Architektur''. Regensburg 2005, ISBN 3-7954-1711-2, S. 95f.
* Hans Buchmann: ''Burgen und Schlösser an der Bergstrasse.'' Konrad Theiss Verlag, Stuttgart 1986, ISBN 3-8062-0476-4. S. 210
* Christian Burkhart: ''Eine hochmittelalterliche Luftheizung vom alten Schlössel (sog. „Kronenburg“) bei Dossenheim an der badischen Bergstraße.'' In: ''Der Odenwald. Zeitschrift des [[Breuberg-Bund]]es'' Heft 4, 2006, S. 148–161.
* Achim Wendt: ''Das Rätsel der „Kronenburg(en)“: eine Bestandsaufnahme aus archäologischer Sicht''. In: ''Heimatverein Dossenheim, Berichte, Informationen, Mitteilungen, Nr. 17, 1997''. 1998
* Rainer Kunze: ''Betrifft: »Kronenburg« und Schauenburg bei Dossenheim''. In: ''Mannheimer Geschichtsblätter Neue Folge Bd. 3/1996''. Sigmaringen 1996, ISBN 3-7995-0957-7
* Rainer Kunze: ''Kapelle oder Hühnerstall? – Nochmals Kronenburg''. In: ''Mannheimer Geschichtsblätter Neue Folge Bd. 6/1999''. Ubstadt-Weiher 1999, ISBN 3-89735-129-3
* Thomas Steinmetz: ''Burgen im Odenwald.'' Verlag Ellen Schmid, Brensbach 1998, ISBN 3-931529-02-9, S. 34 f.
* Staatl. Archivverwaltung Baden-Württemberg in Verbindung mit d. Städten u.d. Landkreisen Heidelberg u. Mannheim (Hrsg.): '' Die Stadt- und die Landkreise Heidelberg und Mannheim: Amtliche Kreisbeschreibung''.
** Bd. 2: ''Die Stadt Heidelberg und die Gemeinden des Landkreises Heidelberg''. Karlsruhe 1968

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* [http://udo.lubw.baden-wuerttemberg.de/public/p/7WDB ''Umgebungskarte der Kronenburg''] auf: {{GeoQuelle|DE-BW|LUBW|ref=nein}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=SUksHXjkdUo ''Burgstall Kronenburg bei Dossenheim Bergstrasse/BW Zustand 1993''], Video über die Burganlage

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{Navigationsleiste Burgen und Schlösser im Odenwald}}
{{Navigationsleiste Burgen und Schlösser im Rhein-Neckar-Kreis}}

[[Kategorie:Burgruine im Rhein-Neckar-Kreis]]
[[Kategorie:Burg im Odenwald]]
[[Kategorie:Bauwerk in Dossenheim]]
[[Kategorie:Burg in Europa]]
[[Kategorie:Höhenburg in Baden-Württemberg]]

Bleicherde

2025-05-03T12:16:14Z

141.70.80.5: /* Fördermengen */Fixed sorting of table

{{Dieser Artikel|erläutert eine Gruppe von Lebensmittelzusatzstoffen, zum Bodentyp siehe [[Podsol]].}}
'''Bleicherde''' (auch '''Walk[er]erde''', '''Fullererde''', '''Füllerde''', '''Vollerde''', '''Seifenerde''' oder '''Bleicherleim'''<ref name=akademie>Karl Günther Ludovici, Eröffnete Akademie der Kaufleute, oder vollständiges Kaufmanns-Lexicon, Band 5, Leipzig 1756, S. 610</ref>) ist der Sammelbegriff für ein Gemenge aus verschiedenen [[Quellung|quellfähigen]] [[Schichtsilikate]]n aus der Gruppe der [[Smektitgruppe|Smektite]], welche zu den [[Tonminerale]]n gehören. Hauptbestandteil ist das [[Montmorillonit]].

== Verwendung ==

Historisch wurde Bleicherde wegen der hohen Fettabsorption in der [[Tuch]]produktion ähnlich wie Seife eingesetzt, um Wolle von Lanolin zu befreien und die Verfilzung der Fasern zu fördern.<ref name=akademie />

Bleicherden werden hauptsächlich als [[Adsorptionsmittel]] bei der Raffination von [[Speiseöl]] (Entfärbung, Reinigung und Stabilisierung) eingesetzt.<ref name="ABC Chemie">''Brockhaus ABC Chemie'', VEB F. A. Brockhaus Verlag Leipzig 1965, S. 187.</ref>

In der Lebensmittelindustrie werden Bleicherden zur [[Schönung]] von Wein, Most und Saft, zur Bierstabilisierung und zur Reinigung von Zuckersaft und -sirup verwendet.

In der Papierindustrie werden Bleicherden als Pigment und Farbentwickler benutzt.

Bleicherde kann auch als Bindemittel für Fett/Öl auf Wasser verwendet werden.

Zur Abtrennung von [[Farbstoff]]en, [[Hydroperoxide]]n oder [[Schwermetalle]]n wird bei 90 °C Bleicherde ([[Aluminiumsilikat]]) zugesetzt. Oft geschieht dies in Kombination mit [[Aktivkohle]].

Im 18. Jahrhundert wurde Bleicherde vor allem in Sachsen (z. B. [[Colditz]], [[Schwarzenberg]], [[Grimma]], [[Leipzig]]) abgebaut sowie in der damaligen Mark Brandenburg (heute Polen) im Raum [[Frankfurt (Oder)]]<ref name=akademie />. Bei [[Weilburg]], [[Aachen]] und [[Roßwein]] sowie in [[Schlesien]] und der [[Steiermark]] sind im 19. Jahrhundert Bleicherde-Vorkommen abgebaut worden.

== Fördermengen ==
Der Großteil der globalen Abbaumengen entfiel 2019 und 2020 auf die [[USA]]. Eine Übersicht bietet die folgende Tabelle.

{| class="wikitable sortable"
|-
! Land
! data-sort-type="number" | 2019<ref name="usgs_2021">[https://pubs.usgs.gov/periodicals/mcs2021/mcs2021-clays.pdf U.S. Geological Survey, Mineral Commodity Summaries 2021: CLAYS].</ref>
! data-sort-type="number" | 2020<ref name="usgs_2022">[https://pubs.usgs.gov/periodicals/mcs2022/mcs2022-clays.pdf U.S. Geological Survey, Mineral Commodity Summaries 2022: CLAYS].</ref>
|-
|
|colspan="2" style="text-align:center"| (in [[Tonne (Einheit)|Tonnen]])
|-
| {{GRE}} || 37.000 || 34.000
|-
| {{IND}} || 6.000 || 730.000
|-
| {{MEX}} || 110.000 || 110.000
|-
| {{SEN}} || 117.000 || 117.000
|-
| {{ESP}} || 626.000 || 590.000
|-
| {{TUR}} || 20.000 || 60.000
|-
| {{USA}} || 1.920.000 || 1.980.000
|-
| Andere Länder || 344.000 || 313.000
|-
| '''Gesamt''' || 3.180.000 || 3.930.000
|}

== Siehe auch ==
* [[Bleichen]]
* [[Kaolin#Lebensmittel|Kaolin]]
* [[Lavaerde]]

== Literatur ==
* {{RömppOnline|ID=RD-02-01912|Name=Bleicherden|Abruf=2014-09-25}}
* K. Jasmund, G. Lagaly, ''Tonminerale und Tone'', Steinkopff Verlag, Darmstadt, ('''1993''').

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Hilfsmittel (Textilveredelung)]]
[[Kategorie:Farbmittel]]
[[Kategorie:Lebensmittelzusatzstoff]]
[[Kategorie:Schichtsilikate (Strunz)]]

Polylogarithmus

2023-12-02T13:33:30Z

141.70.80.5: Die Dirichletsche Etafunktion wurde fälschlicherweise als Dedekindsche Etafunktion bezeichnet

Der '''Polylogarithmus''' ist eine [[spezielle Funktion]], die durch die [[Reihe (Mathematik)|Reihe]]
: <math>
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^s}
</math>
definiert ist. Für <math>s = 1</math> geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen [[Logarithmus]] über:
: <math>\operatorname{Li}_1(z)=-\ln(1-z)</math>
In den Fällen <math>s=2</math> und <math>s=3</math> spricht man entsprechend von [[Dilogarithmus]] bzw. [[Trilogarithmus]]. Die Definition gilt für [[Komplexe Zahlen|komplexe]] <math>s</math> und <math>z</math> mit <math>|z|<1</math>. Durch [[analytische Fortsetzung]] lässt sich diese Definition auf weitere <math>z</math> ausdehnen.

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist <math>s=n</math> eine [[natürliche Zahl]]. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch
: <math>\operatorname{Li}_{0}(z) =\frac{z}{1-z}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{n}(z) = \int_0^z \frac{\operatorname{Li}_{n-1}(t)}{t}\, \text{d}t
\quad \mbox{für} \quad
n = 1, 2, 3, \dotsc</math>
definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von <math>s</math> lässt sich der Polylogarithmus durch [[Rationale Funktion|rationale Funktionen]] ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der [[Fermi-Dirac-Verteilung]] und der [[Bose-Einstein-Verteilung]] auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von [[Bailey-Borwein-Plouffe-Formel#Polylogarithmische Konstante|polylogarithmischen Konstanten]] (z. B. <math>\pi</math>) einzeln berechnet werden.

== Funktionswerte und Rekursionen ==
[[Datei:Mplwp polylogarithm m3to3.svg|mini|320px|Graphen einiger ganzzahliger Polylogarithmen]]

=== Funktionswerte mit Index unter Zwei ===
Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von <math>s</math>:
: <math>\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln\left(1-z\right)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{0}(z) = \frac{z}{1-z}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-1}(z) = \frac{z}{(1-z)^2}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-2}(z) = \frac{z(1+z)}{(1-z)^3}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-3}(z) = \frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z)^4}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-4}(z) = \frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z)^5}</math>
Formal kann man <math>\operatorname{Li}_{-n}(z):=(z\tfrac{\text{d}}{\text{d}z})^nH(z)</math> mit der (für alle <math>z</math> divergierenden) Reihe <math>\textstyle H(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty z^k</math> definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definierten [[Laurent-Reihe]]n) verwendet werden.

Für alle ganzzahligen ''nichtpositiven'' Werte vom Index <math>n</math> kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine [[rationale Funktion]].

=== Funktionswerte mit positivem Index ===
Es gilt
: <math>\operatorname{Li}_s(1)=\zeta(s)</math>
und
: <math>\operatorname{Li}_s(-1)=-\eta(s)</math>
Der Buchstabe <math>\zeta</math> stellt dabei die [[Riemannsche Zetafunktion]] und der Buchstabe <math>\eta</math> die [[Dirichletsche Etafunktion]]<ref>{{MathWorld|id=DirichletEtaFunction|title=Dirichlet Eta Function}}</ref> dar.

Für größeres <math>s</math> sind keine weiteren derartigen Formeln bekannt.

Die zwei bekanntesten Werte des [[Dilogarithmus]] und somit des '''Polylogarithmus''' mit Indexzahl Zwei sind die folgenden Werte:
: <math>\operatorname{Li}_{2}(1) = \tfrac{1}{6}\pi^2</math>
: <math>\operatorname{Li}_{2}(-1) = -\tfrac{1}{12}\pi^2</math>
Diese beiden Werte gehen direkt aus der folgenden Integralidentität für den ''Dilogarithmus'' hervor:
: <math>\operatorname{Li}_{2}(x) - \tfrac{1}{4}\operatorname{Li}_{2}(x^2) = \tfrac{1}{2}\operatorname{Li}_{2}(x) - \tfrac{1}{2}\operatorname{Li}_{2}(-x) = \int_0^1\frac{\operatorname{arcsin}(xy)}{\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y</math>
Durch das Einsetzen der Werte <math>x = 1</math> sowie <math>x = -1</math> erscheinen direkt die soeben genannten Funktionswerte.

Und die nun gezeigte Formel geht wiederum aus dieser [[Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus|Areatangens-Hyperbolicus-Cardinalis-Formel]] durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich <math>x</math> hervor:
: <math>\frac{1}{x} \operatorname{artanh}(x) = \int_0^1 \frac{y}{\sqrt{(1-x^2y^2)(1-y^2)}} \,\mathrm{d}y</math>
Für die drei kleinsten positiven Werte vom Index <math>s</math> sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle des inneren Klammerwertes <math>1/2</math> angegeben:
: <math>\operatorname{Li}_{1}\left(\tfrac12 \right) = \ln 2</math>
: <math>\operatorname{Li}_{2}\left(\tfrac12 \right) = \tfrac1{12}\left(\pi^2-6\,\ln^2 2 \right)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{3}\left(\tfrac12 \right) = \tfrac1{24}\left(4\, \ln^3 2-2\pi^2\, \ln 2+21\,\zeta(3) \right)</math>
Die folgende Bildertafel zeigt die komplexen Ebenendiagramme für die Polylogarithmen.

Die erste Zeile zeigt die Diagramme für die Polylogarithmen von negativem Index und Nullindex und die zweite Zeile diejenigen von positivem Index:

{| style="text-align:center"
|+ Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene
|[[Datei:Complex polylogminus3.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylogminus2.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylogminus1.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylog0.jpg|1000x140px|ohne]]
|-
|<math>
\operatorname{Li}_{-3}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{-2}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{-1}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{0}(z)
</math>
|-
|[[Datei:Complex polylog1.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylog2.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylog3.jpg|1000x140px|ohne]]
|-
|<math>
\operatorname{Li}_{1}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{2}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{3}(z)
</math>
|}

== Ableitung ==
Die Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen:
: <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \operatorname{Li}_n(x)=\frac1x \operatorname{Li}_{n-1}(x)</math>

== Integraldarstellung ==
Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen <math>z,s</math> durch
: <math>
\operatorname{Li}_s(z)=
\frac{z}{2}+\ln^{s-1}\,\frac{1}{z}\,\Gamma(1-s,-\ln\,z)+
2z\int_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t-t\,\ln\,z)}{(1+t^2)^{s/2}(\mathrm{e}^{2\pi\,t}-1)}\,\text{d}t
</math>
Auf der [[Abel-Plana-Summenformel]] basiert diese für den gesamten komplexen Raum gültige Gleichung.

mit Hilfe des Integralausdrucks für die [[Lerchsche Zeta-Funktion]] darstellen. Dabei ist <math>\textstyle \Gamma(s,z)=\int_z^\infty t^{s-1}\mathrm{e}^{-t}\,\text{d}t</math> die [[unvollständige Gammafunktion]] der unteren Grenze.

== Verallgemeinerungen ==
=== Mehrdimensionale Polylogarithmen ===
Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermaßen definiert:<ref>{{MathWorld|id=MultidimensionalPolylogarithm|title=Multidimensional Polylogarithms}}</ref>
:<math>\operatorname{L}_{a_1,\dotsc,a_m}(z)=\sum_{n_1>\dotsb>n_m>0} \frac{z^{n_1}}{n_1^{a_1}\dotsb n_m^{a_m}}</math>

=== Lerchsche Zeta-Funktion ===
Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendenten [[Lerchsche Zeta-Funktion|Lerchschen Zeta-Funktion]]:
: <math>\operatorname{Li}_s(z)=z\cdot\Phi(z,s,1)</math>

=== Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen ===
Nielsen fand folgende Verallgemeinerung für den Polylogarithmus:<ref>{{MathWorld|id=NielsenGeneralizedPolylogarithm|title=Nielsen Generalized Polylogarithm}}</ref>
: <math>\operatorname{S}_{n,p}(z)=\frac{(-1)^{n+p-1}}{(n-1)!p!} \int\limits_0^1 \frac{\left(\ln(t)\right)^{n-1}\left(\ln(1-zt)\right)^p}t \text{d}t</math>
Es gilt:
: <math>\operatorname{S}_{n-1,1}(z)=\operatorname{Li}_n(z)</math>

== Siehe auch ==
* [[Fermi-Dirac-Integral]]
* [[Legendresche Chi-Funktion]]
* [[Debyesche Funktionen]]

== Literatur ==
* [[Alexander Goncharov]]: [http://users.math.yale.edu/users/ag727/icm.pdf ''Polylogarithms in arithmetic and geometry.''] (PDF; 228 kB) In: ''Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Zürich, 1994).'' Birkhäuser, Basel 1995, Vol. 1, 2, S. 374–387.
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Handbook of Mathematical Functions]].'' Dover Publications, New York 1964, ISBN 978-0-486-61272-0, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_1004.htm Abs. 27.7.]

== Weblinks ==
* [[Eric W. Weisstein]]: ''[http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html Dilogarithm,] [http://mathworld.wolfram.com/Trilogarithm.html Trilogarithm]'' und ''[http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html Polylogarithm.]'' In: ''[[MathWorld]]'' (englisch).
* David H. Bailey, David J. Broadhurst: ''A seventeenth-order polylogarithm ladder.'' {{arXiv|math.CA/9906134}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Offizinell

2023-04-16T04:19:27Z

141.70.80.5: "Offizin" ist nicht deutsch, sondern lateinisch.

{{DISPLAYTITLE:offizinell}}
Als '''offizinell''' (arzneilich, auch '''offizinal'''; von [[Latein|lat.]] officina: Abgaberaum, Anfertigungsraum, Werkstatt, Fabrik) werden [[Arzneistoff]]e und -[[Arzneipflanze|pflanzen]] bzw. bestimmte Teile oder Zubereitungen daraus sowie Herstellungs- und Prüfmethoden bezeichnet, die durch eine [[Monographie]] eines aktuell gültigen [[Arzneibuch]]s (z. B. das [[Arzneibuch#Europäisches Arzneibuch|europäische]], [[Arzneibuch#Arzneibuch in Deutschland|deutsche]] (DAB) oder [[Arzneibuch#Österreich|österreichische]] (ÖAB) Arzneibuch) charakterisiert sind.<ref>[https://www.pschyrembel.de/offizinell/K0FMC/doc/ ''Offizinell''], [[Pschyrembel (Medizinisches Wörterbuch)|Pschyrembel]] Online, abgerufen am 6. November 2020.</ref><ref>[[Hermann J. Roth]]: [https://www.deutsche-apotheker-zeitung.de/daz-az/2010/daz-38-2010/aehnlich-aber-nicht-gleich ''Ähnlich, aber nicht gleich*''], Deutsche Apotheker-Zeitung, Nr. 38, 2010, S. 76, 23. September 2010.</ref><ref>''Wörterbuch der Medizin'', dtv München, 1994, S. 538.</ref><ref>[https://www.spektrum.de/lexikon/biologie/offizinell/47382 ''Offizinell''], www.spektrum.de, abgerufen am 6. November 2020.</ref>

[[Offizin]] ist ein alter Ausdruck für den Laborraum einer [[Apotheke]], der auch heute noch für den Verkaufsraum einer öffentlichen Apotheke benutzt wird.<ref>K. Feiden, H. Pabel: ''Wörterbuch der Pharmazie. Bd. 3 Arzneimittel- und Apothekenrecht. '' WVG, 1985, S. 166.</ref>

Zahlreiche botanische Pflanzennamen tragen das [[Artepitheton]] „officinalis“, was auf die Verwendung der Pflanze bzw. wichtiger Teile zur Herstellung von Arzneimitteln oder Kosmetik verweist. Beispiele dafür sind u. a. der [[Echter Salbei|Echte Salbei]] (Salvia officinalis), die [[Zitronenmelisse]] (Melissa officinalis), der [[Echter Eibisch|Echte Eibisch]] (Althaea officinalis), der [[Rosmarin]] (Rosmarinus officinalis), das [[Echtes Eisenkraut|Echte Eisenkraut]] (Verbena officinalis), die [[Ringelblume]] (Calendula officinalis) oder auch der [[Echter Ehrenpreis|Echte Ehrenpreis]] (Veronica officinalis), die zum Teil noch heute im Arzneibuch monografiert sind.<ref>''European Pharmacopoeia (Ph. Eur), 10th edition, Lateinischer Index'' ([https://www.edqm.eu/sites/default/files/medias/fichiers/European_Pharmacopoeia/The_European_Pharmacopoeia/European_Pharmacopoeia_10th_Edition/Latin_index/european_pharmacopoeia_10.0_latin_index.pdf PDF]), abgerufen am 6. November 2020.</ref>

Die Form von ''officinalis'' für [[Neutrum|neutrale]] [[Substantiv]]e im [[Nominativ]] ist „officinale“, wie es z. B. beim [[Liebstöckel]] (Levisticum officinale), beim [[Echter Beinwell|Echten Beinwell]] (Symphytum officinale), beim [[Ingwer]] (Zingiber officinale), bei der [[Echte Brunnenkresse|Echten Brunnenkresse]] (Nasturtium officinale) oder beim [[Echter Jasmin|Echten Jasmin]] (Jasminum officinale) als Epitheton verwendet wird.

Ein botanisches Werk, das diesen Begriff im Titel führt, ist „Plantae officinales [alternativ auch: medicinales] oder, Sammlung offizineller Pflanzen“ von [[Theodor Friedrich Ludwig Nees von Esenbeck]] aus den Jahren 1821–1833.<ref>M.F. Weyhe, J.W. Wolter, P.W.Funke, T.F.L. Nees von Esenbeck, 1828. ''Plantae medicinales oder Sammlung offizineller Pflanzen / mit ... Beschreibungen von M. F. Weyhe; J. W. Wolter; P. W. Funke, fortges. von Th. Fr. L. Nees von Esenbeck. Mit Abb. von A. Henry. 3 Bände.'' Arnz, Düsseldorf. [https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:084-11041815281 (Digitalisat)]</ref>

== Weblinks ==
{{Wiktionary|offizinell}}
* [http://www.fachbegriffe-medizin.de/medizinisches-verzeichnis/offizinell.htm Fachbegriff]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Pharmazie]]

Minimale Hemm-Konzentration

2021-02-16T17:07:10Z

141.70.80.5:

'''Minimale Hemm-Konzentration (MHK)''' ({{enS}} ''MIC'' für ''Minimum Inhibitory Concentration'') ist ein Begriff aus der [[Biologie]]. Sie bezeichnet die niedrigste [[Konzentration (Chemie)|Konzentration]] einer Substanz, bei der die Vermehrung von [[Mikroorganismus|Mikroorganismen]] mit bloßem Auge nicht wahrgenommen werden kann.

Die MHK wird mit einem sogenannten [[Titerverfahren]] bestimmt.

In der Regel wird die Konzentration eines [[Antibiotikum]]s bestimmt, die das Wachstum eines [[Bakterium|Bakterienstammes]] gerade noch hemmt. Die MHK wird in [[Mikrogramm]] pro [[Milliliter]] (µg/ml) angegeben (in der Regel in [[Logarithmus|log2]]-Schritten), die zur Qualitätskontrolle überprüfte Einsaatdichte der Bakterien wird in [[Koloniebildende Einheit|Koloniebildenden Einheiten]] pro Milliliter angegeben (KBE/ml).

Zum Beispiel ist die ''MHK50'' die niedrigste Konzentration einer Substanz, die die Vermehrung von mindestens 50 % der getesteten Stämme hemmt.

Antibiotika können weiterhin über die [[minimale bakterizide Konzentration]] (MBK) charakterisiert werden.

[[Kategorie:Mikrobiologisches Testverfahren]]

Geordnete abelsche Gruppe

2018-05-22T11:32:47Z

141.70.80.5: Fehlendes Symbol ergänzt.

Eine '''geordnete abelsche Gruppe''' ist eine [[mathematische Struktur]]. Es handelt sich um eine [[abelsche Gruppe]], auf der zusätzlich eine mit der Gruppenstruktur verträgliche [[Ordnungsrelation]] gegeben ist, die man üblicherweise mit <math>\le</math> bezeichnet (man liest kleiner-gleich). Dadurch ist es möglich, die Elemente einer Gruppe ''der Größe nach'' zu vergleichen.

Viele Begriffsbildungen aus der Theorie der [[Geordneter Vektorraum|geordneten Vektorräume]] lassen sich auf abelsche Gruppen übertragen, indem man die [[Skalarmultiplikation]] durch die <math>\Z</math>-[[Modul (Mathematik)|Modul]]-Struktur ersetzt, allerdings entfallen geometrische Betrachtungen wie Konvexitätsargumente.

Jede geordnete abelsche Gruppe ist [[torsionsfrei]]. Umgekehrt lässt sich eine abelsche Gruppe genau dann mit einer Ordnung versehen, sodass man eine geordnete abelsche Gruppe erhält, wenn die Gruppe torsionsfrei ist.<ref>[[Nicolas Bourbaki]]: ''Éléments de Mathématique. Algèbre.'' Chapitres 1 à 3. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33849-9, Kapitel 2, S. 172.</ref>

Geordnete abelsche Gruppen sind ein Spezialfall des allgemeiner angelegten Begriffs der [[Angeordnete Gruppe|angeordneten Gruppe]].

== Definition ==
Eine '''geordnete abelsche Gruppe''' ist ein [[Tupel|Tripel]] <math>(G,+,\le)</math> bestehend aus einer abelschen Gruppe <math>(G,+)</math> und einer [[Relation (Mathematik)|Relation]] <math>\le</math>, so dass folgendes gilt:
# Für alle <math>x\in G</math> gilt <math>x\le x</math>, das heißt <math>\le</math> ist [[reflexive Relation|reflexiv]].
# Aus <math>x\le y</math> und <math>y\le z</math> folgt <math>x\le z</math> für alle <math>x,y,z\in G</math>, das heißt <math>\le</math> ist [[Transitive Relation|transitiv]].
# Aus <math>x\le y</math> folgt <math>x+z\le y+z</math> für alle <math>x,y,z\in G</math>, das heißt <math>\le</math> ist mit der Gruppenstruktur verträglich.<ref>Graham Jameson: ''Ordered Linear Spaces'' (= ''Lecture Notes in Mathematics.'' Bd. 141, {{ISSN|0075-8434}}). Springer, Berlin u. a. 1970, 1.1.</ref>

=== Positive Menge ===
Die Menge <math>G^+:=\{x\in G;\, x\ge 0\}</math> heißt die ''positive Menge'' und ist eine [[Unterhalbgruppe|Unter]]-[[Halbgruppe]], die das [[Neutrales Element|neutrale Element]] 0 enthält.
Dabei steht <math>x\ge 0</math> natürlich für <math>0\le x</math>.

Ist umgekehrt in einer abelschen Gruppe <math>(G,+)</math> eine Unterhalbgruppe <math>U</math>, die das neutrale Element enthält, gegeben und definiert man <math>x\le y</math> durch <math>y-x \in U</math>, so ist <math>(G,+,\le)</math> eine geordnete abelsche Gruppe, für die <math>G^+=U</math> gilt. Demnach kann man eine geordnete abelsche Gruppe auch als abelsche Gruppe, in der eine Unterhalbgruppe ausgezeichnet ist, definieren. Viele Eigenschaften geordneter abelscher Gruppen lassen sich sowohl mittels der Ordnungsrelation als auch mittels Eigenschaften der Unterhalbgruppe <math>G^+</math> beschreiben.

Ist <math>x\in G^+</math> von endlicher Ordnung <math>n</math>, so ist auch <math>-x = (n-1)\cdot x\in G^+</math>. Wenn alle Elemente der Gruppe endliche Ordnung haben, so ist daher <math>G^+</math> eine Untergruppe und die Ordnung nichts weiter als eine [[Äquivalenzrelation]]. Substantielle Anwendungen der Ordnungstheorie wird man daher nur für Gruppen mit Elementen unendlicher Ordnung erwarten, insbesondere sind die in der Theorie auftretenden Gruppen unendlich.

=== Positive Abbildungen ===
Seien <math>(G,+,\le)</math> und <math>(H,+,\le)</math> zwei geordnete abelsche Gruppen, Verknüpfung und Ordnungsrelation sind hier mit denselben Symbolen bezeichnet.

Eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>f\colon G\to H</math> heißt ''positiv'' oder ''monoton'', falls aus <math>x \le y</math> stets <math>f(x) \le f(y)</math> folgt für alle <math>x,y\in G</math>.

Ein [[Gruppenhomomorphismus]] <math>f\colon G\to H</math> ist genau dann positiv, wenn <math>f(G^+)\subset H^+</math>.

In der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der geordneten abelschen Gruppen sind die [[Morphismus|Morphismen]] die positiven Gruppenhomomorphismen.

== Weitere Begriffsbildungen ==
Sei <math>(G,+,\le)</math> eine geordnete abelsche Gruppe.

=== Antisymmetrische Ordnung ===
Die Ordnung auf <math>G</math> heißt ''[[Antisymmetrische Relation|antisymmetrisch]]'', falls aus <math>x\le y</math> und <math>y\le x</math> stets <math>x=y</math> folgt. Die Ordnung ist genau dann antisymmetrisch, wenn <math>G^+\cap (-G^+) = \{0\}</math>.

Manche Autoren nehmen die Antisymmetrie mit in die Definition auf und sprechen bei fehlender Antisymmetrie von einer Präordnung bzw. von einer prägeordneten Gruppe, so zum Beispiel in <ref>Kenneth R. Goodearl: ''Partially Ordered Abelian Groups with Interpolation'' (= ''Mathematical Surveys and Monographs.'' Bd. 20). American Mathematical Society, Providence RI 2010, ISBN 0-8218-1520-2, chapter 1, Basic Notions.</ref>. Eine antisymmetrische Ordnung wird auch ''strikte Ordnung'' genannt.

=== Gerichtete Ordnung ===
Die Ordnung auf <math>G</math> heißt gerichtet, falls es zu je zwei Elementen <math>x,y\in G</math> stets ein <math>z\in G</math> gibt mit <math>x\le z</math> und <math>y\le z</math>. Die Ordnung ist genau dann gerichtet, wenn <math>G=G^+ - G^+</math>.

=== Ordnungseinheiten ===
Ein Element <math>e\in G</math> heißt eine Ordnungseinheit, falls es zu jedem <math>x\in G</math> ein <math>n\in \N</math> gibt mit <math>-n\cdot e \le x \le n\cdot e</math>.

Im Beispiel <math>(\Z,+,\le)</math> mit der natürlichen Ordnung ist jedes Element aus <math>\N\setminus \{0\}</math> eine Ordnungseinheit. Der [[Folgenraum]] <math>c_0</math>, als geordnete abelsche Gruppe aufgefasst, hat keine Ordnungseinheiten.

=== Skalierte, geordnete abelsche Gruppen ===
Eine Skala in <math>G</math> ist eine Teilmenge <math>S\subset G^+</math> mit folgenden Eigenschaften<ref>Kenneth R. Davidson: ''C*-Algebras by Example'' (= ''Fields Institute Monographs.'' Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, IV.3 Dimension Groups.</ref>:
* Aus <math>0\le x\le s\in S</math> folgt <math>x\in S</math>
* <math>S</math> ist gerichtet, das heißt zu je zwei Elementen <math>s_1,s_2\in S</math> gibt es ein <math>s\in S</math> mit <math>s_1\le s</math> und <math>s_2\le s</math>.
* <math>S</math> ist erzeugend, das heißt jedes <math>x\in G^+</math> ist endliche Summe von Elementen aus <math>S</math>.

Das Paar <math>(G,S)</math> heißt dann skalierte, geordnete abelsche Gruppe. Oft wird eine solche Skala durch eine Ordnungseinheit <math>e</math> definiert, es ist dann <math>S=\{x\in G;\, 0\le x \le e\}</math> und man schreibt <math>(G,e)</math> an Stelle von <math>(G,S)</math>. In der Kategorie der skalierten, geordneten abelschen Gruppen betrachtet man als Morphismen zwischen <math>(G,S_G)</math> und <math>(H,S_H)</math> diejenigen positiven Gruppenhomomorphismen <math>f\colon G\to H</math>, für die <math>f(S_G) \subset S_H</math> gilt.

=== Archimedische Ordnung ===
In Analogie zum [[Archimedisches Axiom|archimedischen Axiom]] nennt man die Ordnung auf <math>G</math>
* ''archimedisch'', falls aus <math>n\cdot x \le y</math> für alle <math>n\in \N</math> stets <math>x\le 0</math> folgt.
* ''fast archimedisch'', falls aus <math>-y \le n\cdot x \le y</math> für alle <math>n\in \N</math> stets <math>x = 0</math> folgt.

Ist die Ordnung antisymmetrisch, so sind archimedische Ordnungen fast archimedisch.

=== Unperforierte Ordnung ===
Folgt aus <math>n\cdot x \ge 0</math> für ein <math>n\in \N, n>0</math> stets <math>x\ge 0</math>, so heißt die Ordnung unperforiert.

Unperforierte und antisymmetrische Gruppen müssen [[torsionsfrei]] sein, denn aus <math>n\cdot x = 0</math> für ein <math>n\in \N, n>0</math> folgt wegen der Unperforiertheit <math>x\ge 0</math> und <math>-x\ge 0</math>, also <math>x = 0</math> wegen der Antisymmetrie.

Archimedische, gerichtete Gruppen sind unperforiert.<ref>Kenneth R. Goodearl: ''Partially Ordered Abelian Groups with Interpolation'' (= ''Mathematical Surveys and Monographs.'' Bd. 20). American Mathematical Society, Providence RI 2010, ISBN 0-8218-1520-2, Satz 1.24.</ref>

=== Rieszsche Interpolationseigenschaft ===
Wie auch in der Theorie der geordneten Vektorräume betrachtet man weitere Eigenschaften der Ordnung, etwa die nach [[Frigyes Riesz]] benannte ''Rieszsche Interpolationseigenschaft'' das heißt<ref>Kenneth R. Goodearl: ''Partially Ordered Abelian Groups with Interpolation'' (= ''Mathematical Surveys and Monographs.'' Bd. 20). American Mathematical Society, Providence RI 2010, ISBN 0-8218-1520-2, chapter 2, Interpolation.</ref>:
* Sind <math>A,B\subset G</math> endliche Teilmengen mit <math>a\le b</math> für alle <math>a\in A, b\in B</math>, so gibt es ein <math>x\in G</math> mit <math>a\le x \le b</math> für alle <math>a\in A, b\in B</math>. (Es genügt, zweielementige Mengen <math>A,B\subset G</math> zu betrachten.)

Eine geordnete abelsche Gruppe <math>(G,+,\le)</math> mit antisymmetrischer Ordnung heißt [[Verband (Mathematik)|Verband]] oder genauer ''verbandsgeordnete Gruppe'', wenn es zu je zwei Elementen <math>x,y\in G</math> ein [[Supremum]] gibt. Dies ist ein Element <math>z\in G</math> mit <math>x\le z</math> und <math>y\le z</math>, das kleinste Element mit dieser Eigenschaft ist, das heißt für jedes <math>w\in G</math> mit <math>x\le w</math> und <math>y\le w</math> folgt <math>z\le w</math>. Man zeigt, dass <math>z</math> eindeutig durch <math>x</math> und <math>y</math> bestimmt ist. Man spricht daher von ''dem'' Supremum von <math>x</math> und <math>y</math> und schreibt dafür <math>x \vee y</math>. Ganz analog existiert dann auch zu je zwei Elementen <math>x</math> und <math>y</math> das [[Infimum]] <math>x \wedge y = -((-x)\vee (-y))</math>.

Offenbar haben verbandsgeordnete Gruppen die Rieszsche Interpolationseigenschaft, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Es stellt sich heraus, dass verbandsgeordnete Gruppen stets [[distributiver Verband|distributive Verbände]] sind.<ref>Graham Jameson: ''Ordered Linear Spaces'' (= ''Lecture Notes in Mathematics.'' Bd. 141, {{ISSN|0075-8434}}). Springer, Berlin u. a. 1970, Satz 2.2.7.</ref>

== Beispiele ==

* Das bekannteste Beispiel einer geordneten abelschen Gruppe ist die Gruppe <math>(\Z,+,\le)</math> der ganzen Zahlen mit der üblichen Ordnungsrelation. Diese Ordnung ist strikt und es ist <math>\Z^+ = \N_0</math>. Die Gruppenhomomorphismen auf <math>\Z</math> sind genau die Abbildungen <math>f_n:\Z\rightarrow \Z, x\mapsto nx</math>, wobei <math>n\in \Z</math>. Die positiven Gruppenhomomorphismen sind genau die Abbildungen <math>f_n</math>, wobei <math>n\in \N_0</math>.
*Analog zum ersten Beispiel sind auch <math>(\Q,+,\le)</math> und <math>(\R,+,\le)</math> Beispiele geordneter abelscher Gruppen.
* Auf <math>(\Z^2,+)</math> definiere <math>(x_1,x_2)\le (y_1,y_2)</math> genau dann, wenn <math>x_1 \le y_1</math> und <math>x_2 \le y_2</math>. Dann ist <math>(\Z^2,+,\le)</math> eine geordnete abelsche Gruppe mit <math>(\Z^2)^+ = (\N_0)^2</math>.
* Auf <math>(\Z^2,+)</math> definiere <math>(x_1,x_2)\preceq (y_1,y_2)</math> genau dann, wenn <math>x_1 < y_1</math> oder <math>x_1 = y_1</math> und <math>x_2 \le y_2</math>; das ist die sogenannte [[lexikographische Ordnung]]. Auch <math>(\Z^2,+,\preceq)</math> ist eine geordnete abelsche Gruppe, die positive Menge ist <math>\{0\}\times \N_0 \cup (\N\setminus\{0\})\times \Z</math>.
* Betrachtet man zu einer abelschen Gruppe die Unterhalbgruppe <math>\{0\}</math>, so ist die zugehörige Ordnungsrelation die Gleichheit.
* Ist <math>H</math> eine Halbgruppe und <math>G={\mathcal G}(H)</math> die zugehörige [[Grothendieck-Gruppe]], so definiert das Bild von <math>H</math> in <math>G</math> eine Halbgruppe und somit eine Ordnung auf <math>G</math>. Die in der [[Algebraische K-Theorie|K-Theorie]] betrachtete <math>K_0</math>-Gruppe eines Ringes ist eine solche Grothendieck-Gruppe und daher in natürlicher Weise eine geordnete abelsche Gruppe.
* Jeder [[Geordneter Vektorraum|geordnete Vektorraum]] ist eine geordnete abelsche Gruppe, wenn man die [[skalare Multiplikation]] vergisst und den [[Vektorraum]] nur als abelsche Gruppe betrachtet.

== Anwendungen ==

* Die [[Abzählbarkeit|abzählbaren]], unperforierten geordneten abelschen Gruppen mit der Rieszschen Interpolationseigenschaft sind genau diejenigen Gruppen, die als <math>K_0</math>-Gruppe einer [[AF-C*-Algebra]] auftreten.
* In der [[Bewertungstheorie]] definiert man zu einem Bewertungsring <math>A</math> mit [[Quotientenkörper]] <math>K</math> die [[Faktorgruppe]] <math>K^*/A^*</math> der [[Einheitengruppe]]n mit der Ordnung <math>[x]\le [y]</math> genau dann, wenn <math>yx^{-1}\in A</math>. Die positive Halbgruppe ist durch die Restklassen der Elemente aus <math>A</math> gegeben.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]

Datei:Archimedes.svg

2015-11-08T14:22:37Z

141.70.80.5: /* Beschreibung, Quelle */

== Beschreibung, Quelle ==
{{Information
|Beschreibung = archimedes, Logo der FvS Fulda
|Quelle = fvsfulda.de
|Urheber = Pascal Schneider
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

== Lizenz ==
{{Vorlage:Bild-GFDL/1.3}}

[[Kategorie:Datei:Logo (Hessen)]]

Wikipedia:WPBVK/Stoffsammlung/Meinolf Stendebach

2015-01-02T19:56:32Z

141.70.80.5: /* Meinolf Stendebach */

__NOTOC__
{|{{Bausteindesign4}}
|-
|Diese Stoffsammlung dient dazu, in Vorbereitung eines Artikels über '''Meinolf Stendebach'''
* Daten
* Literaturhinweise
* Links auf weiterführende Informationen
zu sammeln. Bitte gib, sofern bekannt, Stufe des Bundesverdienstkreuzes und Jahr der Verleihung an.
|}

== [[Wikipedia:WPBVK/Stoffsammlung/Meinolf Stendebach|Meinolf Stendebach]] ==

'''Meinolf Stendebach''' (* [[ ]]) ist Oberstudiendirektor des Eckenberg-Gymnasium Adelsheim und Träger des Verdienstkreuzes am Bande.

=== Leben, Leistungen und Werk ===
Initiator der Bauländer Initiative für Menschen"

http://www.fnweb.de/region/neckar-odenwald/adelsheim-osterburken-seckach/lebensqualitat-im-bauland-verbessert-1.507398

=== Stufe und Jahr ===
* 2011: [[Verdienstorden der Bundesrepublik Deutschland|Verdienstkreuz am Bande]] der Bundesrepublik Deutschland<ref>{{BVK|VKB|9/2012}}</ref>

=== Literatur ===

=== Weblinks ===

=== Einzelnachweise ===
<references />

{{SORTIERUNG:Stendebach, Meinolf}}
<nowiki>{{Normdaten|TYP=p|GND=|VIAF=}}</nowiki>
[[Kategorie:Wikipedia:WPBVK/Stoffsammlung]]