Sellmeier-Gleichung

2020-07-28T16:32:08Z

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Die '''Sellmeier-Gleichung''' ist in der [[Optik]] eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des [[Brechungsindex]] <math>n</math> eines lichtdurchlässigen Mediums von der [[Wellenlänge]] <math>\lambda</math> des Lichts. Die Gleichung wurde nach [[Wolfgang von Sellmeier]] benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die [[Cauchy-Gleichung]] und [[Kramers-Kronig-Relation]] veröffentlichte.<ref>{{Literatur |Autor=Dirk Poelman, Philippe Frederic Smet |Titel=Methods for the determination of the optical constants of thin films from single transmission measurements: a critical review |Sammelwerk=Journal of Physics D: Applied Physics |Band=36 |Nummer=15 |Datum=2003 |Seiten=1850-1857 |DOI=10.1088/0022-3727/36/15/316}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang von Sellmeier |Titel=Zur Erklärung der abnormen Farbenfolge in Spectrum einiger Substanzen |Sammelwerk=Annalen der Physik und Chemie |Band=143 |Nummer= |Datum=1871 |Seiten=272–282 |Online={{Gallica| ID = bpt6k15227z| Seite= 284}} |DOI=10.1002/andp.18712190612}}</ref>
Anwendung findet sie vor allem in der [[Technische Optik|technischen Optik]] zur Beschreibung der [[Dispersion (Physik)|Dispersion]] von [[Optisches Glas|optischem Glas]] und anderen optischen Werkstoffen.

== Mathematische Beschreibung ==

{| class="wikitable float-right"
|+ Beispiel: Koeffizienten für das [[Borosilikatglas]] BK7
|- class="hintergrundfarbe6"
! Koeffizient
! Wert
|-
| ''B''1 || 1,03961212
|-
| ''B''2 || 0,231792344
|-
| ''B''3 || 1,01046945
|-
| ''C''1 || 6,00069867·10−3 μm2
|-
| ''C''2 || 2,00179144·10−2 μm2
|-
| ''C''3 || 103,560653 μm2
|}

[[Datei:Dispersion - Sellmeier vs Cauchy modell DE.svg|mini|Darstellung des Brechungsindex von [[Borsilikatglas]] (BK7) gegen die Wellenlänge. Im Diagramm werden die gemessenen Werte und entsprechende parametrische Anpassungen der Cauchy- bzw. Sellmeier-Gleichung miteinander verglichen.]]

Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der [[Cauchy-Gleichung]] aufgefasst werden, sie lautet:
:<math>
n^2(\lambda) \,=\, 1
+ \frac{B_1 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_1}
+ \frac{B_2 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_2}
+ \frac{B_3 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_3}
</math>

mit ''B''1,2,3 und ''C''1,2,3 als experimentell ermittelte '''Sellmeier-Koeffizienten'''. Die ''B''1,2,3 sind dimensionslos und die ''C''1,2,3 werden gewöhnlich in [[Meter#Gebräuchliche dezimale Vielfache|μm]]² angegeben.

Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als <math>\pm 5 \cdot 10^{-6}</math>.

Der rechte Term der Gleichung kann für eine größere Genauigkeit auch um weitere Summanden erweitert werden:
:<math>
n^2(\lambda) \, = \, 1 + \sum_{i=1}^m\frac{B_i \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_i}
</math>

Setzt man <math>C_i = \lambda_i^2</math>,
so lassen sich die <math>\lambda_i</math> als Resonanzwellenlängen von Absorptionslinien oder -banden erklären.

== Siehe auch ==
*[[Achromat]]
*[[Apochromat]]
*[[Chromatische Aberration]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Optik]]

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