Satz von Peter-Weyl

2023-11-27T02:13:01Z

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Im [[Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]] verallgemeinert der '''[[Satz (Mathematik)|Satz]] von Peter-Weyl''', benannt nach [[Hermann Weyl]] und seinem Studenten [[Fritz Peter (Mathematiker)|Fritz Peter]] (1899–1949), die [[Fourierreihe]] für [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] auf beliebigen [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Topologische Gruppe|topologischen Gruppen]].

== Darstellungen auf kompakten Gruppen ==
Sei <math>G</math> eine kompakte topologische Gruppe. Für einen komplexen [[Hilbertraum]] <math>H_\pi</math> heiße ein [[Stetige Funktion|stetiger]] [[Gruppenhomomorphismus]] <math>\pi\colon G\to U(H_\pi)</math> ''[[Hilbertraum-Darstellung|Darstellung]]'' der Gruppe, wobei <math>U(H_\pi)</math> mit der [[Schwache Operatortopologie|schwachen Operatortopologie]] versehen sei. Es lässt sich nun zeigen, dass jedes solche <math>\pi</math> einen [[Kompakter Operator|kompakten]] [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten]] [[Vertauschungsoperator]] und damit als [[Eigenraum]] dieses Operators einen endlichdimensionalen, [[Nullvektorraum|nichttrivialen]] [[Invarianter Teilraum|invarianten Teilraum]] von <math>H_\pi</math> besitzt. Daher ist jede [[irreduzible Darstellung]] einer kompakten Gruppe endlichdimensional und jede Darstellung lässt sich als [[direkte Summe (Darstellungstheorie)|direkte Summe]] von solchen darstellen, besitzt also eine [[Zerlegung in irreduzible Darstellungen]].

Von besonderem Interesse ist die [[linksreguläre Darstellung]] <math>\mathbf{L}\colon G\to U(L^2(G))</math>; diese ist durch <math>(\mathbf{L}(g)f)(x)=f(g^{-1}x)</math> definiert, wobei <math>g,x \in G</math> und <math>f\in L^2(G)</math> eine bezüglich des linksinvarianten auf <math>1</math> normierten [[Haarmaß]]es [[quadratintegrierbare Funktion]] ist. Man kann zeigen, dass für jedes solche <math>f</math> die durch obige Formel gegebene Funktion <math>\mathbf{L}(g)f \colon G\rightarrow \Complex</math> wieder quadratintegrierbar ist und dass <math>\mathbf{L}(g)</math> zwei fast überall gleiche Funktionen wieder auf fast überall gleiche Funktionen abbildet, insgesamt also tatsächlich einen Operator auf <math>L^2(G)</math> bestimmt, dessen Unitarität man leicht nachweisen kann.
Analog ist die rechtsreguläre Darstellung durch <math>(\mathbf{R}(g)f)(x)=f(xg)</math> und die zweiseitige Darstellung durch <math>\mathbf{\mathbf{L}\times\mathbf{R}}\colon G\times G \to U(L^2(G)), \; ((\mathbf{L}\times\mathbf{R})(g,h)f)(x)=f(g^{-1}xh)</math> definiert.

Für jede Darstellung <math>\pi</math> und <math>u,v\in H_\pi</math> ist <math>\pi_{uv} \colon G\to\Complex, \; g\mapsto\langle \pi(g)v, u\rangle</math>, genannt ''Matrixkoeffizient'', eine [[Beschränkte Funktion|beschränkte]] stetige Funktion (''siehe [[Fourier-Stieltjes-Algebra]]'').

== Fouriertransformation ==
Aus allen irreduziblen Darstellungen von <math>G</math> wähle man ein [[Repräsentantensystem]] <math>\hat{G}</math> bezüglich [[Unitäre Äquivalenz|unitärer Äquivalenz]]. Einer jeden Darstellung <math>\pi\colon G\to U(H_\pi)</math> entspricht eine [[Hilbertraum-Darstellung]] <math>\pi\colon L^1(G)\to L(H_\pi)</math> der [[Banach-*-Algebra]] <math>L^1(G)</math> mit der [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] (die sogenannte ''[[Gruppenalgebra#Verallgemeinerungen|Gruppenalgebra]]''), sodass für alle <math>u,v\in H_\pi</math> die Gleichung
:<math>\langle\pi(f)u,v\rangle=\int_G\langle\pi(g)u,v\rangle f(g)\mathrm{d}g</math>
besteht.
Da das Haarmaß auf einer kompakten Gruppe [[Endliches Maß|endlich]] ist, ist <math>L^2(G)\subseteq L^1(G)</math>. Für eine Funktion <math>f\in L^2(G)</math> ist die ''Fouriertransformation'' nun definiert als <math>\mathcal{F}(f)=\left(\pi(f)\right)_{\pi\in\hat{G}}</math>, dabei ist <math>\mathcal{F}</math> eine Abbildung von <math>L^2(G)</math> in die [[orthogonale Summe]]
:<math>H:=\bigoplus_{\pi\in\hat{G}} HS(H_\pi)</math>
der Räume von Matrizen auf <math>H_\pi</math>, ausgestattet mit dem [[Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt]] (dies ist im kompakten Fall stets möglich, da die Darstellungsräume endlichdimensional sind).

== Satz ==
Der Satz von Peter-Weyl besagt nun, dass die Fouriertransformation einer kompakten Gruppe bis auf gewisse konstante Faktoren [[Unitärer Operator|unitär]] ist, und konstruiert die [[Umkehrabbildung]]. Genauer ist
:<math>\mathcal{F}^\prime\colon L^2(G)\to H, \quad f\mapsto \left(\sqrt{\dim H_\pi}\mathcal{F}(f)_\pi\right)_{\pi\in\hat{G}}</math>
unitär. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch
:<math>\mathcal{F}^{\prime*}\colon H\to L^2(G), \quad (T_\pi)_{\pi\in\hat{G}}\mapsto \left(f\colon x\mapsto \sum_{\pi\in\hat{G}} \sqrt{\dim H_\pi}\operatorname{Tr}(T_\pi \pi(x)^{*})\right)</math>,
wobei <math>\operatorname{Tr}</math> die [[Spur (Mathematik)|Spur]] bezeichne und die Summe im Sinne [[Unbedingte Konvergenz|unbedingter Konvergenz]] zu verstehen ist.

== Teilaussagen ==
Hier seien einige Teilaussagen angegeben, die mitunter zum Beweis herangezogen werden, und teilweise auch wiederum unmittelbar aus dem Satz von Peter-Weyl in der obigen Form folgen.

Die Räume <math>HS(\pi)</math> sind paarweise orthogonale [[Unterhilbertraum|Teilräume]] von <math>H</math>, somit sind auch die Unterräume <math>L^2_\pi:=\mathcal{F}^{\prime*}(HS(\pi))\subseteq L^2(G)</math> paarweise orthogonal und der Operator <math>U_\pi:=\mathcal{F}^{\prime*}|_{HS(\pi)\to L^2_\pi}</math> ist ebenfalls unitär. Ist die Familie <math>(e_i)</math> eine [[Orthonormalbasis]] von <math>H_\pi</math>, so ist die Familie aller [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produkte]] <math>(e_i\otimes e_j)_{i,j}</math> eine Orthonormalbasis von <math>HS(H_\pi)</math> und somit <math>(U_\pi(e_i\otimes e_j))_{i,j}=(\sqrt{\dim H_\pi}\pi_{e_i e_j})_{i,j}</math> Orthonormalbasis von <math>L^2_\pi</math>. Sind dementsprechend Orthonormalbasen <math>(e^\pi_i)_i</math> für jedes <math>\pi\in\hat{G}</math> gegeben, so bilden die Funktionen <math>(\sqrt{\dim H_\pi} \pi_{e_i^\pi e_j^\pi})_{\pi,i,j}</math> eine Orthonormalbasis von <math>L^2(G)</math>.

Die Darstellung <math>\pi^2\colon G\times G\to HS(H_\pi)</math> sei definiert als [[äußeres Tensorprodukt]] mit der [[Kontragrediente Darstellung|kontragredienten Darstellung]], <math>\pi^2:=\pi\otimes\bar{\pi}</math>, konkret:
:<math>\pi^2(g,h)T=\pi(g)T\pi(h)^{*}</math>.
Der Operator <math>U_\pi</math> ist nun ein Vertauschungsoperator zwischen <math>\pi^2</math> und <math>\mathbf{L}\times\mathbf{R}</math>, d. h.
:<math>(\mathbf{L}\times\mathbf{R})(g,h)U_\pi = U_\pi \pi^2(g,h)</math>,
womit <math>\pi^2</math> äquivalent zur zweiseitigen Darstellung eingeschränkt auf <math>L^2_\pi</math> ist. Wählt man <math>u\in H_\pi</math> fest und [[Einheitsvektor|normiert]], so ist das Bild des Operators
:<math>U_\pi^u:=U|_{\left\{v\otimes u \mid v\in H_\pi\right\}}</math>
invariant unter der linksregulären Darstellung, der (bei Einschränkung des Bildraumes) unitäre Operator
:<math>V_\pi^u:=U_\pi^u (v\mapsto v\otimes u)</math>
ist ein Vertauschungsoperator zwischen <math>\pi</math> und <math>\mathbf{L}</math>, <math>\mathbf{L}(x)V_\pi^u=V_\pi^u\pi(x)</math>. Somit ist jede irreduzible Darstellung einer kompakten Gruppe äquivalent zu einer [[Teildarstellung]] der linksregulären Darstellung. Die [[Multiplizität (Darstellungstheorie)|Multiplizität]] der Darstellung <math>\pi</math> in der linksregulären Darstellung, das heißt, wie oft sie in einer Zerlegung dieser in Irreduzible auftritt, ist gerade gleich der Dimension <math>\dim H_\pi</math> des Darstellungsraumes. Die [[Orthogonalprojektion]] <math>p\colon L^2(G)\to \operatorname{Im}(V_\pi^u)=\operatorname{Im}(U_\pi^u)</math> ist dabei durch eine Faltung gegeben, <math>f\mapsto f * U_\pi^u u = \sqrt{\dim H_\pi} f * \pi_{uu}</math>. Diese Ergebnisse gelten völlig analog für die rechtsreguläre Darstellung, indem man <math>u\otimes v</math> statt <math>v\otimes u</math> und bei der Projektion die umgekehrte Faltung betrachtet.

== Beispiel ==
Sei <math>G=\mathbb{S}=U(1)</math> die [[Kreisgruppe]]. Da <math>\mathbb{S}</math> [[Abelsche Gruppe|abelsch]] ist, ist jede irreduzible Darstellung ein [[Charakter (Mathematik)|Charakter]], also eine Abbildung in die Kreisgruppe selbst. Diese sind gerade durch die Funktionen <math>\chi_m\colon x\mapsto x^m</math> für <math>m\in\Z</math> gegeben. Für <math>f\in L^2(\mathbb{S})</math> und <math>u,v\in\Complex</math> gilt
:<math>\chi_m(f)u\bar{v}=\langle \chi_m(f) u, v\rangle = \int_\mathbb{S} \langle \chi_m(x) u, v \rangle f(x) \mathrm{d}x = \int_\mathbb{S} \chi_m(x)u\bar{v} f(x) \mathrm{d}x</math>
und somit einfach <math>\chi_m(f)=\int_\mathbb{S} \chi_m(x)f(x) \mathrm{d}x</math>. Dies ist nichts anderes als der bekannte <math>m</math>-te [[Fourierkoeffizient]] zu <math>f</math>. Der Satz von Peter-Weyl liefert (da der Darstellungsraum <math>\Complex</math> eindimensional ist, sind keine weiteren Skalierungen vonnöten) die Unitarität dieser Transformation in den Raum <math>\bigoplus_\Z HS(\Complex)\cong\ell^2(\Z)</math> sowie die Umkehrung
:<math>(c_m)_{m\in\Z}\mapsto \left(x \mapsto \sum_{m\in\Z} \operatorname{Tr}(\chi_m(f) \chi_m(x)^{*}) = \sum_{m\in\Z} \chi_m(f) x^{-m}\right)</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Gerald Budge Folland|Titel=A Course in Abstract Harmonic Analysis|Seiten=128 ff|Verlag=[[CRC Press]]|Jahr=1995|ISBN=0-8493-8490-7}}
* {{Literatur|Autor=Anton Deitmar, Siegfried Echterhoff|Titel=Principles of Harmonic Analysis|Seiten=141 ff.|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|Jahr=2009|DOI=10.1007/978-0-387-85469-4|ISBN=978-0-387-85468-7}}
* {{Literatur|Autor=Mitsuo Sugiura|Titel=Unitary Representations and Harmonic Analysis|Seiten=19 ff|Verlag=North-Holland|Jahr=1990|Auflage=2.|ISBN=0-444-88593-5}}
* F. Peter, H. Weyl: ''Über die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe.'' Mathematische Annalen, Band 97, 1927, S. 737–755. [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0097 (online)]

[[Kategorie:Harmonische Analyse]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Peter Weyl]]

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