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Scottsches Axiomensystem

2022-04-28T12:43:11Z

132.231.141.219: /* Das Axiomensystem */

Das '''Scottsche Axiomensystem''', benannt nach dem Mathematiker [[Dana Scott]], ist ein Axiomensystem der [[Mengenlehre]], das als alternativer Zugang zum Axiomensystem der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]], kurz ZF, angesehen werden kann. Es verwendet das in ZF beweisbare [[Reflexionsprinzip (Mengenlehre)|Reflexionsprinzip]] als Axiom und kann auf diese Weise auf einige ZF-Axiome verzichten.

== Motivation ==
Durch die [[Von-Neumann-Hierarchie]] wird das gesamte [[Mengenuniversum]] in Stufen <math>V_\alpha</math> eingeteilt, wobei <math>\alpha</math> die [[Ordinalzahl]]en durchläuft. Wir beschreiben hier drei Konsequenzen, die dann umgekehrt zu Axiomen des Scottschen Axiomensystems werden.

* <math>\forall x\, \exists \alpha \, (x\in V_\alpha)</math>

Das heißt, jede Menge <math>x</math> liegt in einer Stufe. Das ist genau die zum [[Fundierungsaxiom]] äquivalente Aussage der Von-Neumann-Hierarchie, wonach jede Menge bereits in einer Stufe liegt bzw. bezüglich der <math>\in</math>-Relation bereits durch eine Stufe beschränkt ist; man spricht daher auch vom ''Beschränktheitslemma''.

* <math>\forall \alpha\, \forall x\, (x\in V_\alpha\,\leftrightarrow\, \exists \beta\,(\beta < \alpha \land (x\in V_\beta \lor x\subset V_\beta))) </math>

Wenn also <math>x</math> in einer Stufe <math>V_\alpha</math> liegt, so liegt es bereits in einer niedrigeren Stufe <math>V_\beta</math> mit <math>\beta < \alpha</math> oder ist als Teilmenge in einer solchen niedrigeren Stufe enthalten. Dieses sogenannte ''Kumulierungslemma'' folgt direkt aus der rekursiven Definition der Stufen <math>V_\alpha</math> als Vereinigung aller Vorgänger oder als [[Potenzmenge]] des Vorgängers, je nachdem, ob <math>\alpha</math> eine [[Limes-Ordinalzahl]] ist oder nicht.

Das ''Reflexionsprinzip'' besagt, dass jede in ZF formulierbare Aussage <math>\varphi = \varphi(x)</math> bereits durch eine Stufe <math>V_\alpha</math> gespiegelt wird, genauer:

* <math>\forall x\, \exists \alpha\, (x \in V_\alpha \land V_\alpha \text{ spiegelt }\varphi(x)) </math>

Die Spiegelung durch die Stufe <math>V_\alpha</math> bedeutet dabei die Spiegelung durch das durch „<math>x\in V_\alpha</math>“ definierte Prädikat; Einzelheiten zum Begriff der Spiegelung findet man im Artikel [[Relativierung (Mengenlehre)]].

Diese drei Eigenschaften – Beschränktheitslemma, Kumulierungslemma und Reflexionsprinzip – sollen nun zu Axiomen erhoben werden, ohne die in ZF definierten Stufen zu verwenden. Dazu benötigen wir ein neues Prädikat „<math>x</math> ist Stufe“, das wir <math>\Sigma</math> nennen. Die Schreibweise <math>\Sigma x</math> ist demnach als „<math>x</math> ist Stufe“ zu lesen, und man kann sich darunter etwas Ähnliches wie die Stufen der Von-Neumann-Hierarchie vorstellen. Die genauen Eigenschaften dieser Stufen werden allerdings durch die Axiome des Scottschen Axiomensystems festgelegt, das nun vorgestellt wird.

== Das Axiomensystem ==
Wir verwenden kleine lateinische Buchstaben als Variablen für Mengen und die Symbole <math>=, \in, \Sigma, \neg, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \exists, \forall</math>, wobei = für Gleichheit steht und <math>\in</math> für die Elementbeziehung, <math>\Sigma</math> ein einstelliges Prädikat ist und die restlichen Symbole die üblichen logischen Symbole sind. In den folgenden Axiomen bezeichne <math>\varphi=\varphi(x,x_1,\ldots,x_n)</math> eine mengentheoretische Formel mit der Variablen <math>x</math> und möglicherweise weiteren Variablen (Parametern) <math>x_1,\ldots,x_n</math>.

* ''Existenz'': <math>\exists x (x=x)</math>

Das Existenzaxiom fordert, dass es wenigstens eine Menge im [[Mengenuniversum]] gibt.

* ''Extensionalität'': <math>\forall x, y\, (\forall z (z\in x \leftrightarrow z\in y) \rightarrow x=y)</math>

Das Extensionalitätsaxiom beschreibt den quantitativen Aspekt des Mengenbegriffs: Enthalten zwei Mengen dieselben Elemente, so sind sie gleich.

* ''Aussonderung'': <math>\forall x_1,\ldots,x_n \forall x \exists y \forall z\, (z\in y \leftrightarrow z\in x \land \varphi(z,x_1,\ldots,x_n))</math>

Zu jeder Menge und zu jeder Eigenschaft kann man die Menge derjenigen Elemente aussondern, die diese Eigenschaft erfüllen, genauer:
Bei vorgegebener Formel <math>\varphi</math> und gegebenen Parametern gibt es zu jeder Menge <math>x</math> die Menge <math>y</math>, die genau aus denjenigen Elementen <math>z</math> aus <math>x</math> besteht, die der Eigenschaft <math>\varphi(z,x_1,\ldots,x_n)</math> genügen. Dies ist kein einzelnes Axiom, sondern ein sogenanntes Schema von Axiomen, da man für jede Formel <math>\varphi</math> ein Axiom erhält.

* ''Beschränktheit'': <math>\forall x\exists v\,(\Sigma v \land x\in v)</math>.

Jede Menge liegt in einer Stufe.

* ''Kumulierung'': <math>\forall v\, (\Sigma v \rightarrow \forall x\, (x\in v \leftrightarrow \exists w (\Sigma w \land w\in v \land (x\in w \lor x\subset w))))</math>

Dabei steht <math>x\subset w</math> wie üblich für <math>\forall z(z\in x \rightarrow z \in w)</math>. In Worten besagt das Kumulierungsaxiom: Wenn <math>v</math> eine Stufe ist, so gilt für jedes <math>x</math> aus dieser Stufe, dass es eine in <math>v</math> enthaltene Stufe <math>w</math> gibt, in der <math>x</math> als Element oder als Teilmenge liegt.

* ''Reflexionsprinzip'': <math>\forall x\,\exists v\, (\Sigma v \land x\in v \land v \text{ spiegelt }\varphi(x,x_1,\ldots x_n))</math>

Hier soll <math>\varphi</math> alle Formeln ohne das Symbol <math>\Sigma</math> durchlaufen, es handelt sich also wieder um ein Schema von Axiomen. Der Ausdruck <math>v \text{ spiegelt }\varphi(x,x_1,\ldots x_n)</math> bedeutet dabei
:<math>\forall x_1,\ldots x_n\, (x_1\in v \land\ldots \land x_n\in v \rightarrow (\varphi(x,x_1,\ldots x_n) \leftrightarrow [\varphi(x,x_1,\ldots x_n)]^v))</math>
wobei <math>[\varphi(x,x_1,\ldots x_n)]^v</math> die durch [[Relativierung (Mengenlehre)|Relativierung]] nach <math>v</math> aus <math>\varphi(x,x_1,\ldots x_n)</math> hervorgegangene Formel ist.

Die Gesamtheit dieser Axiome werde im Folgenden mit '''<math>\Sigma</math>''' bezeichnet.

== Äquivalenz zu ZF ==
Die ersten drei Axiome aus '''<math>\Sigma</math>''' sind auch ZF-Axiome, und die einleitenden Bemerkungen zeigen, dass die Festlegung <math>\Sigma x :\Leftrightarrow \exists \alpha\, (x=V_\alpha)</math> ein Prädikat definiert, das auch die übrigen drei '''<math>\Sigma</math>'''-Axiome erfüllt. Umgekehrt kann man aus '''<math>\Sigma</math>''' alle ZF-Axiome herleiten, das heißt das [[Vereinigungsaxiom]], [[Potenzmengenaxiom]], [[Unendlichkeitsaxiom]], [[Fundierungsaxiom]] und das Schema der [[Ersetzungsaxiom]]e.

In '''<math>\Sigma</math>''' kann man daher wie in ZF Ordinalzahlen und die Von-Neumann-Hierarchie der <math>V_\alpha</math> einführen. In '''<math>\Sigma</math>''' gilt dann der Satz:
: <math>\forall x\, (\Sigma x \leftrightarrow \exists \alpha \, (x=V_\alpha))</math>.
Damit sind die Axiomensysteme ZF und '''<math>\Sigma</math>''' gleichwertig. In beiden Axiomatisierungen lassen sich dieselben Sätze beweisen, wobei das in ZF fehlende <math>\Sigma x</math> durch <math>\exists \alpha \, (x=V_\alpha)</math> zu ersetzen ist.

== Literatur ==
* [[Heinz-Dieter Ebbinghaus]]: ''Einführung in die Mengenlehre'', Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3, insbesondere Kapitel X, §3
* [[Dana Scott]]: ''Axiomatizing set theory'' in ''Axiomatic Set Theory II'', Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 13 (1974), [[American Mathematical Society]], Seiten 207–214

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Große Kardinalzahl

2022-04-28T12:30:29Z

132.231.141.219: /* Messbare Kardinalzahl */

In der [[Mengenlehre]] wird eine [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] als '''große Kardinalzahl''' bezeichnet, wenn ihre Existenz erwiesenermaßen nicht mit den üblichen [[Axiom]]en der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] (ZFC) bewiesen werden kann. Nimmt man die Aussage, dass eine große Kardinalzahl mit einer bestimmten Eigenschaft existiert, als neues Axiom zu ZFC hinzu, erhält man eine stärkere Theorie, in der einige der in ZFC unentscheidbaren Sätze entschieden werden können. Diese Große-Kardinalzahl-Axiome spielen deshalb in der modernen Mengenlehre eine wichtige Rolle.

== Verschiedene große Kardinalzahlen ==
Die folgende Liste großer Kardinalzahlen ist nach Konsistenzstärke geordnet. Die Existenz einer Kardinalzahl impliziert die Existenz der vor ihr aufgelisteten.

=== Schwach unerreichbare Kardinalzahl ===
Eine Kardinalzahl <math>\kappa</math> heißt ''schwach unerreichbare Kardinalzahl'', wenn sie eine überabzählbare, reguläre [[Limes-Kardinalzahl]] ist, wenn also <math>\operatorname{cf} (\kappa) = \kappa > \omega</math> (cf steht für [[Konfinalität]] und <math>\omega</math> ist die kleinste unendliche Ordinalzahl, mit Kardinalität <math>\aleph_0</math>) gilt und für jedes <math>\mu < \kappa</math> auch <math>\mu^+ < \kappa</math>. Schwach unerreichbare Kardinalzahlen sind genau die regulären Fixpunkte der [[Aleph-Funktion|Aleph-Reihe]]: <math>\aleph_\kappa = \kappa = \operatorname{cf} (\kappa)</math>.

=== Stark unerreichbare Kardinalzahl ===
Eine Kardinalzahl <math>\kappa</math> heißt ''stark unerreichbare Kardinalzahl'', wenn <math>\kappa</math> eine überabzählbare, reguläre starke Limes-Kardinalzahl ist, wenn also <math>\operatorname{cf} (\kappa) = \kappa > \omega</math> gilt und für jedes <math>\mu < \kappa</math> auch <math>2^\mu < \kappa</math>. Stark unerreichbare Kardinalzahlen sind genau die regulären Fixpunkte der [[Beth-Funktion|Beth-Reihe]]: <math>\beth_\kappa = \kappa = \operatorname{cf} (\kappa)</math>.

Da <math>2^\kappa \geq \kappa^+</math> ([[Satz von Cantor]]), ist jede stark unerreichbare Kardinalzahl auch schwach unerreichbar. Ist <math>\kappa</math> schwach unerreichbar, so ist <math>L_\kappa</math> (siehe [[Konstruktive Hierarchie]]) ein Modell des [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystems der Mengenlehre ZFC]]; ist <math>\kappa</math> stark unerreichbar, so ist auch <math>V_\kappa</math> (siehe [[Von-Neumann-Hierarchie]]) ein [[Grothendieck-Universum]] und somit ein Modell von ZFC. Die Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen impliziert also die Widerspruchsfreiheit von ZFC. Nimmt man an, dass ZFC widerspruchsfrei ist, so kann nach dem zweiten [[Gödelscher Unvollständigkeitssatz|Gödelschen Unvollständigkeitssatz]] nicht in ZFC bewiesen werden, dass es eine unerreichbare Kardinalzahl gibt.

Die Forderung nach der Existenz beliebig großer Kardinalzahlen ist auch in manchen Teilen der Mathematik außerhalb der Mengenlehre als Axiom verbreitet und erweitert ZFC zur [[Tarski-Grothendieck-Mengenlehre]].

=== Mahlo-Kardinalzahl ===
Eine ''Mahlo-Kardinalzahl'', benannt nach [[Paul Mahlo]], ist eine stark unerreichbare Kardinalzahl <math>\kappa</math>, in welcher die Menge der regulären Kardinalzahlen [[Stationäre Menge|stationär]] ist. Das bedeutet, dass in jeder [[Club-Menge|abgeschlossenen und unbeschränkten Teilmenge]] von <math>\kappa</math> eine reguläre Kardinalzahl enthalten ist. Man beachte, dass eine Kardinalzahl <math>\kappa</math> immer als die wohlgeordnete Menge der [[Ordinalzahl]]en angesehen wird, deren Mächtigkeiten kleiner als <math>\kappa</math> sind. Eine Teilmenge <math>C</math> von <math>\kappa</math> ist abgeschlossen und unbeschränkt, wenn folgendes gilt:
* Für jede in <math>\kappa</math> beschränkte Teilmenge von <math>C</math> liegt der Limes wieder in <math>C</math>.
* Für jedes Element <math>\alpha</math> in <math>\kappa</math> gibt es ein Element <math>\beta</math> von <math>C</math>, das oberhalb von <math>\alpha</math> liegt.
Da die Menge der starken Limes-Kardinalzahlen in <math>\kappa</math> abgeschlossen und unbeschränkt ist, ist dann auch die Menge der unerreichbaren Kardinalzahlen stationär in <math>\kappa</math>. Da <math>\kappa</math> regulär ist, folgt daraus, dass <math>\kappa</math> die <math>\kappa</math>-te unerreichbare Kardinalzahl ist.

=== Schwach kompakte Kardinalzahl ===
Eine überabzählbare Kardinalzahl <math>\kappa</math> heißt ''schwach kompakt'', wenn es zu jeder Färbung der zweielementigen Teilmengen von <math>\kappa</math> mit zwei Farben eine ''homogene Teilmenge'' von <math>\kappa</math> der Mächtigkeit <math>\kappa</math> gibt. Eine Teilmenge <math>S</math> von <math>\kappa</math> heißt ''homogen'' bzgl. der gegebenen Färbung, wenn alle zweielementigen Teilmengen von <math>S</math> dieselbe Farbe haben. In der [[Satz von Erdős-Rado|Pfeilnotation von Erdős-Rado]] ist eine schwach-kompakte Kardinalzahl eine überabzählbare Kardinalzahl <math>\kappa</math> mit <math>\kappa \rightarrow (\kappa)^2</math>.

Ist <math>\kappa</math> eine schwach kompakte Kardinalzahl, so gilt in der [[Infinitäre Logik|infinitären Logik]] <math>\mathcal L_{\kappa,\kappa}</math> der [[schwache Kompaktheitssatz]] und ist umgekehrt <math>\kappa</math> eine unerreichbare Kardinalzahl und gilt für <math>\mathcal L_{\kappa,\kappa}</math> der schwache Kompaktheitssatz, so ist <math>\kappa</math> schwach kompakt.

Man kann zeigen, dass eine schwach kompakte Kardinalzahl <math>\kappa</math> eine Mahlo-Kardinalzahl ist und dass es unterhalb von <math>\kappa</math> noch <math>\kappa</math> viele weitere Mahlo-Kardinalzahlen geben muss. Insbesondere sind schwach kompakte Kardinalzahlen stark unerreichbar.

Dass schwach kompakte Kardinalzahlen [[Kofinalität|regulär]] sind, lässt sich aus den kombinatorischen Voraussetzung der Definition leicht ableiten und soll hier dargestellt werden. Sei <math>( \beta_\alpha )_{\alpha<\lambda}</math> eine aufsteigende Kette von Kardinalzahlen der Länge <math>\lambda</math>, deren Supremum <math>\kappa</math> schwach kompakt ist. Die Kette teilt die Menge <math>\kappa</math> in <math>\lambda</math> viele [[disjunkt]]e Abschnitte. Zwei Elemente von <math>\kappa</math> liegen dann entweder in demselben Abschnitt oder in unterschiedlichen Abschnitten. Bezüglich dieser Aufteilung (Färbung) muss es dann eine homogene Teilmenge von <math>\kappa</math> der Mächtigkeit <math>\kappa</math> geben. Die Homogenität der Teilmenge besagt, dass deren Elemente entweder alle in dem gleichen Abschnitt liegen, oder alle in unterschiedlichen Abschnitten liegen. Also gibt es einen Abschnitt der Größe <math>\kappa</math> oder es gibt <math>\kappa</math> viele Abschnitte. Somit ist <math>\beta_\alpha=\kappa</math> für ein <math>\alpha</math> oder es gilt <math>\lambda=\kappa</math>. Das zeigt, dass die [[Kofinalität]] von <math>\kappa</math> nicht kleiner als <math>\kappa</math> sein kann.

=== Messbare Kardinalzahl ===

Der Begriff der messbaren Kardinalzahl geht auf [[Stanisław Marcin Ulam]] zurück. Eine Kardinalzahl <math>\kappa</math> nennt man messbar, wenn es ein nicht triviales <math>\kappa</math>-additives, <math>\{0,1\}</math>-wertiges Maß auf <math>\kappa</math> gibt. Das ist eine Funktion <math>\mu</math>, die jeder Teilmenge von <math>\kappa</math> das ''Maß'' <math>0</math> oder <math>1</math> zuordnet und für die folgende Eigenschaften gelten:
* <math>\mu(X\cup Y)=\mu(X)+\mu(Y)</math>, wenn <math>X\cap Y=\emptyset</math>.
* Die Vereinigung von weniger als <math>\kappa</math> vielen Mengen mit Maß <math>0</math> hat wieder das Maß <math>0</math>.
* Einelementige Mengen haben das Maß <math>0</math> und <math>\kappa</math> hat das Maß <math>1</math>.
Man kann leicht einsehen, dass dann außerdem Folgendes gilt:
* Alle Teilmengen von <math>\kappa</math> mit Mächtigkeit <math><\kappa</math> haben Maß <math>0</math>.
* Von disjunkten Teilmengen von <math>\kappa</math> hat höchstens eine das Maß <math>1</math>.
* Eine Teilmenge von <math>\kappa</math> hat genau dann das Maß <math>1</math>, wenn das Komplement das Maß <math>0</math> hat.
* Der Durchschnitt von weniger als <math>\kappa</math> vielen Mengen mit Maß <math>1</math> hat wieder das Maß <math>1</math>.
Eine messbare Kardinalzahl <math>\kappa</math> muss regulär sein, denn wenn <math>\kappa</math> die Vereinigung von weniger als <math>\kappa</math> vielen Teilmengen der Mächtigkeit <math><\kappa</math> wäre, so würde sich für <math>\kappa</math> das Maß <math>0</math> berechnen. Wir wollen jetzt noch beweisen, dass <math>\kappa</math> eine starke Limeskardinalzahl ist.

Aus der Annahme <math>\lambda<\kappa</math> und <math>\kappa\le2^\lambda</math> konstruieren wir einen Widerspruch zur Messbarkeit von <math>\kappa</math>. Dazu betrachten wir die Menge <math>W</math> der Funktionen <math>x\colon\lambda\to\{0,1\}</math>. <math>W</math> stellt man sich als <math>\lambda</math>-dimensionalen Würfel vor, der pro „Richtung“ <math>\alpha\in\lambda</math> in die zwei Hälften <math>H^0_\alpha=\{x\in W : x(\alpha)=0\}</math> und <math>H^1_\alpha=\{x\in W : x(\alpha)=1\}</math> zerfällt. Wählt man pro <math>\alpha</math> eine Hälfte aus, so ist der Durchschnitt genau eine Ecke des Würfels. Formal bedeutet das
:<math>\bigcap_{\alpha\in\lambda} H^{x(\alpha)}_\alpha = \{ x \}</math> für jedes <math>x\in W</math>.
Da <math>\kappa\le2^\lambda</math>, gibt es eine Teilmenge <math>M</math> von <math>W</math> mit der Mächtigkeit <math>\kappa</math>, und da <math>\kappa</math> messbar ist, gehen wir von einem entsprechenden Maß <math>\mu</math> auf der Menge <math>M</math> aus. Wir definieren mit Hilfe von <math>\mu</math> ein spezielles <math>x\in W</math> durch <math>x(\alpha)=\mu(M\cap H^1_\alpha)</math>. Dann bedeutet <math>x(\alpha)=1</math>, dass <math>M\cap H^1_\alpha</math> das Maß <math>1</math> hat, und <math>x(\alpha)=0</math> bedeutet, dass <math>M\cap H^0_\alpha</math> das Maß <math>1</math> hat. Die Mengen <math>M\cap H^{x(\alpha)}_\alpha</math> haben also immer das Maß <math>1</math>. Wegen <math>\lambda<\kappa</math> muss auch der Durchschnitt <math>\textstyle M\cap \bigcap_{\alpha\in\lambda} H^{x(\alpha)}_\alpha </math> das Maß <math>1</math> haben. Dieser Durchschnitt kann aber höchstens das Element x enthalten und hat somit das Maß <math>0</math>. Es ist also bewiesen, dass messbare Kardinalzahlen stark unerreichbar sind.


== Literatur ==
* [[Thomas Jech]]: ''Set Theory.'' The 3rd Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.

{{SORTIERUNG:Grosse Kardinalzahl}}
[[Kategorie:Zahl]]
[[Kategorie:Kardinalzahl (Mathematik)]]