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Maclaurin-Ungleichung

2022-08-03T09:16:58Z

132.231.140.164: /* Beweis */

Die '''Maclaurin-Ungleichung''' (nach [[Colin Maclaurin]]) ist eine Aussage aus der [[Analysis]], einem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet der Mathematik]]. Sie verschärft die [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]], die besagt, dass das [[arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] von endlich vielen [[positive und negative Zahlen|positiven]] [[reelle Zahl|reellen Zahlen]] stets mindestens so groß ist wie ihr [[geometrisches Mittel]], in Formeln
: <math>\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}n\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}</math>
für eine [[natürliche Zahl]] <math>n</math> und <math>a_1,a_2,\ldots,a_n>0</math>. In der Verschärfung werden noch weitere Mittelwerte angegeben, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegen, beispielsweise besagt die Ungleichung für drei Zahlen <math>x,y,z</math>
: <math>\frac{x+y+z}3\geq\sqrt{\frac{xy+yz+zx}3}\geq\sqrt[3]{xyz}.</math>

== Aussage ==
Sei <math>n \in \N</math> und seien <math>a_1,\ldots,a_n</math> positive reelle Zahlen, und definiere
: <math>S_k= \binom{n}{k}^{-1} \sum_{1\le i_1<\ldots<i_k\le n} a_{i_1}\cdots a_{i_k},</math>
dann gilt
: <math>S_1\ge S_2^{1/2} \ge \ldots \ge S_n^{1/n}.</math>

''Bemerkung:'' <math>S_1</math> ist das arithmetische Mittel der Zahlen, <math>S_n^{1/n}</math> das geometrische Mittel. Der Zähler von <math>S_k</math> ist das [[elementarsymmetrisches Polynom|elementarsymmetrische Polynom]] vom Grad <math>k</math> in <math>a_1,\ldots,a_n</math>.

==Beweis==
Seien <math>n</math> und <math>a_1, \ldots, a_n</math> wie angegeben. Definiere die Abbildung <math>f \colon \R \to \R</math> durch <math>f(x):=(x+a_1)\cdots (x+a_n)</math>, diese lässt sich nach dem [[Satz von Vieta]] schreiben
als <math>f(x) = \sum_{k=0}^n {n\choose k} S_k\, x^{n-k}</math>.

Weil <math>f</math> eine Polynomfunktion ist, sind auch alle ihre Ableitungen Polynomfunktionen; für <math>m \in \N_0</math> mit <math>m \leq n</math> ist also <math>f^{(n-m)}(x)=\frac{n!}{m!}\,(x+b_1)\cdots (x+b_m)</math>. Andererseits erhalten wir durch direkte Differentiation der Summendarstellung von <math>f</math>, dass <math>f^{(n-m)}(x) =\frac{n!}{m!}\,\sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \, S_k x^{m-k}</math>.

Nach dem [[Satz von Rolle]] sind <math>b_1,\ldots,b_m</math> auch alle positiv.

Wieder nach dem [[Satz von Vieta]] sind <math>b_1\cdots b_m=S_m</math> und <math>\sum_{i = 1}^m \frac{b_1 \cdots b_m}{b_i} =m\, S_{m-1}</math>.

Nach der [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel|AGM-Ungleichung]] ist <math>\frac{m\, S_{m-1}}{m}\ge (S_m^{m-1})^{1/m}</math> und schließlich <math>S_{m-1}^{1/(m - 1)}\ge S_m^{1/m}</math>.

[[Kategorie:Ungleichung]]

Kategorizität

2022-06-20T11:28:02Z

132.231.140.164: /* ℵ0-kategorisch und ℵ1-kategorisch: Tautologien */

'''Kategorizität''' ist ein Begriff aus der [[Modelltheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematische Logik|mathematischen Logik]]. Eine Theorie heißt kategorisch in einer bestimmten unendlichen Mächtigkeit, wenn sie im Wesentlichen nur ein Modell dieser Mächtigkeit hat. Die Bezeichnung „kategorisch“ stammt von [[Oswald Veblen]], der sie von [[Immanuel Kant|Kant]] entlehnte.<ref>{{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/modeltheory-fo/|First Order Model Theory|Wilfrid Hodges}}</ref>

== Definitionen ==
Zur Präzisierung verstehen wir unter einer [[Theorie (Logik)|Theorie]] eine Menge <math>T</math> von Sätzen, das heißt Aussagen ohne [[freie Variable]], einer Sprache <math>L_I^S</math> der [[Prädikatenlogik erster Stufe]], die unter der [[Prädikatenlogik erster Stufe#Folgerungen|Folgerungsrelation]] <math>\vDash</math> abgeschlossen ist; das heißt für jeden Satz <math>\varphi</math> folgt aus <math>T\vDash \varphi</math> bereits <math>\varphi \in T</math>. Ist <math>\Phi \subset L_I^S</math>, so ist die Menge <math>\Phi^\vDash := \{\varphi\in L_I^S;\, \varphi \mbox{ Satz}, \Phi\vDash \varphi\}</math> aller aus <math>\Phi</math> herleitbaren Sätze ein Beispiel für eine Theorie.

Hat man eine Theorie <math>T</math> mit unendlichen Modellen, so gibt es nach dem [[Satz von Löwenheim-Skolem]] auch Modelle beliebiger unendlicher Mächtigkeit, insbesondere sind nicht je zwei Modelle notwendigerweise isomorph. Es könnte aber der Fall eintreten, dass die Theorie zu einer vorgegebenen unendlichen [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] <math>\kappa</math> bis auf Isomorphie genau ein Modell der [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] <math>\kappa</math> hat. Dann nennt man die Theorie <math>\kappa</math>-kategorisch.

== Satz von Morley ==
{{Hauptartikel|Satz von Morley (Modelltheorie)}}
Ein wichtiges Resultat ist folgender auf [[Michael D. Morley]] zurückgehender Satz:

* Ist <math>T</math> eine abzählbare Theorie, die <math>\kappa</math>-kategorisch ist für ein überabzählbares <math>\kappa</math>, so ist sie <math>\kappa</math>-kategorisch für jedes überabzählbare <math>\kappa</math>.<ref>{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Rautenberg]] |Titel=Einführung in die Mathematische Logik |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2008 |ISBN=978-3-8348-0578-2 |Kommentar=Bemerkung nach Kapitel 5.2}}</ref>

Es gibt für eine abzählbare Theorie daher nur vier Möglichkeiten in Bezug auf die Kategorizität. Diese kommen tatsächlich alle vor, wie durch unten angegebene Beispiele belegt wird.

== Satz von Ryll-Nardzewski ==
Der [[Satz von Ryll-Nardzewski]] charakterisiert <math>\aleph_0</math>-kategorische Theorien. Er sagt, dass abzählbare Theorien genau dann <math>\aleph_0</math>-kategorisch sind, wenn die Menge der [[Typ (Modelltheorie)|Typen]] über jeder endlichen Mengen endlich ist.

== Kriterium von Vaught ==
Eine wichtige Anwendung des hier vorgestellten Begriffs ist das Kriterium von [[Robert Vaught|Vaught]] (auch: Łoś–Vaught-Test), das eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung zur [[Vollständigkeit (Logik)|Vollständigkeit]] einer Theorie darstellt.

* Ist <math>T\varsubsetneq L_I^S</math> eine abzählbare Theorie ohne endliche Modelle, die <math>\kappa</math>-kategorisch ist für eine Kardinahlzahl <math>\kappa</math>, so ist diese Theorie vollständig.
* In einer allgemeineren Form lautet es: Ist <math>T\varsubsetneq L_I^S</math> eine Theorie ohne endliche Modelle, die <math>\kappa</math>-kategorisch ist für eine Kardinahlzahl, die mindestens so groß ist wie die Mächtigkeit der Signatur, so ist diese Theorie vollständig.

Beide Aussagen sind Korollare zum Satz von Löwenheim-Skolem.

Als wichtiges Anwendungsbeispiel erhalten wir die Vollständigkeit der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 oder <math>p</math>.

== Beispiele ==
=== ℵ0-kategorisch und ℵ1-kategorisch: Tautologien ===

Ein sehr einfaches Beispiel ist die Menge aller Tautologien der Sprache <math>L_I = L_I^{\emptyset}</math>, das heißt die Menge <math>\emptyset^\vDash</math> aller Sätze, die keiner weiteren Voraussetzungen bedürfen. Die Modelle zur Mächtigkeit <math>\kappa</math> sind nichts weiter als die Mengen der Mächtigkeit <math>\kappa</math> und die Isomorphismen sind genau die [[Bijektivität|bijektiven]] Abbildungen. Daher sind je zwei Modelle derselben Mächtigkeit isomorph, das heißt, die Theorie der Tautologien ist <math>\kappa</math>-kategorisch.

=== ℵ0-kategorisch und nicht ℵ1-kategorisch: Dichte Ordnungen ===
Die Theorie der [[Vollständigkeit (Logik)#Beispiele|dichten linearen Ordnung]] ohne Extrema besteht aus allen Aussagen der Sprache <math>L_I^{\{<\}}</math>, die in <math>\Q</math> gelten. Man kann zeigen, dass zwei abzählbare Modelle isomorph sind. Allerdings ist <math>\R</math> nicht isomorph zu <math>\R\times\Q</math> (mit der [[Lexikographische Ordnung|lexikografischen Ordnung]]), da bei letzterem Modell zwischen zwei Punkten nicht immer überabzählbar viele Punkte liegen. Die Theorie ist daher <math>\aleph_0</math>-kategorisch, aber nicht kategorisch in überabzählbaren Kardinalzahlen.

=== Nicht ℵ0-kategorisch und ℵ1-kategorisch ===
==== Algebraisch abgeschlossene Körper ====
Die Theorie der [[Algebraischer Abschluss|algebraisch abgeschlossenen]] [[Körpertheorie|Körper]] kann in der Sprache <math>L_I^{\{0,1,+,\cdot\}}</math> durch eine Menge <math>\Phi</math> von Axiomen beschrieben werden, die neben den üblichen Körperaxiomen noch die unendliche Reihe von Axiomen
: <math>\forall y_0\, y_1 \ldots y_{n-1}\,\exists x\, (x^n + y_{n-1}\cdot x^{n-1} + \ldots + y_1\cdot x + y_0 \equiv 0) </math>
für jedes <math>n>0</math> hinzunimmt, was inhaltlich offenbar bedeutet, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Dabei ist <math>x^k</math> eine abkürzende Schreibweise für das k-fache Produkt <math>x\cdot \ldots \cdot x</math>; man beachte, dass das Potenzieren nicht zur hier gewählten Sprache gehört.
Dann ist <math>\Phi^\vDash</math> die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper. Ferner sei <math>\varphi_p</math> der Satz <math>1+\ldots+1\equiv 0</math> (p-fache Summe von 1, p [[Primzahl]]). Dann axiomatisiert <math>\Phi_p := \Phi \cup \{\varphi_p\}</math> die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>p</math> und <math>\Phi_0 := \Phi \cup \{\neg \varphi_p;\,p\mbox{ Primzahl}\}</math> die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0.

Ein Modell dieser Theorien wird durch die Mächtigkeit einer [[Transzendenzbasis]] bis auf Isomorphie bestimmt. Für ein Modell der Mächtigkeit <math>\kappa</math> (mit <math>\kappa > \aleph_0</math>) muss die Mächtigkeit einer Transzendenzbasis schon <math>\kappa</math> sein, für ein abzählbares Modell kann die Mächtigkeit der Transzendenzbasis eine beliebige endliche Zahl oder abzählbar unendlich sein. Die Theorien <math>\Phi_0^\vDash</math> und <math>\Phi_p^\vDash</math> sind daher <math>\aleph_1</math>-kategorisch, aber nicht <math>\aleph_0</math>-kategorisch.<ref>{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Rautenberg]] |Titel=Einführung in die Mathematische Logik |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2008 |ISBN=978-3-8348-0578-2 |Kommentar=Bemerkung nach Kapitel 5.2, Beispiel 4}}</ref>

==== Q-Vektorräume ====
<math>\Q</math>-[[Vektorraum|Vektorräume]] lassen sich in der Prädikatenlogik erster Stufe durch die Signatur <math>S=\{\mathbf{0},+,\Q\}</math> beschreiben, wobei 0 ein Konstantensymbol ([[Nullvektor]]), + ein zweistelliges Funktionssymbol ([[Vektoraddition]]) und jedes <math>r\in \Q</math> ein einstelliges Funktionssymbol ([[skalare Multiplikation]] mit <math>r</math>) sei. Es ist klar, dass man mit diesen Symbolen die Axiome für <math>\Q</math>-Vektorräume hinschreiben kann. Man beachte allerdings, dass man nicht über alle Skalarmultiplikationen <math>r\in \Q</math> quantifizieren kann; man muss stattdessen mit unendlichen Folgen von Axiomen arbeiten, zum Beispiel
: <math>\forall x\, y\, (r+x\,y \equiv +\, rx\, ry) </math>
für jedes Funktionssymbol <math>r</math>, was man suggestiver natürlich als
: <math>\forall x\, y\,( r(x+y) = rx+ry) </math>
schreibt. Man erhält so die Theorie <math>T_{\Q V} = \Phi^\vDash</math>, wobei <math>\Phi</math> die Menge aller obigen Axiome der <math>\Q</math>-Vektorräume ist.<ref>{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Rautenberg]] |Titel=Einführung in die Mathematische Logik |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2008 |ISBN=978-3-8348-0578-2 |Kommentar=Bemerkung nach Kapitel 5.5, Satz 5.2}}</ref>

Für natürliche Zahlen <math>0<n<m</math> sind <math>\Q^n</math> und <math>\Q^m</math> zwei nicht isomorphe Modelle für <math>T_{\Q V}</math> derselben Mächtigkeit <math>\aleph_0</math>, die Theorie ist daher nicht <math>\aleph_0</math>-kategorisch. <math>T_{\Q V}</math> ist aber <math>\kappa</math>-kategorisch für jede Kardinalzahl <math>\kappa > \aleph_0</math>, denn man kann zeigen, dass [[Basis (Vektorraum)|Basen]] von <math>\Q</math>-Vektorräumen der Mächtigkeit <math>\kappa > \aleph_0</math> ebenfalls diese Mächtigkeit haben und die Isomorphieklassen von Vektorräumen durch die Mächtigkeit der Basis eindeutig bestimmt sind.

=== Nicht ℵ0-kategorisch und nicht ℵ1-kategorisch: Diskrete Ordnungen ===
Eine Theorie, die keine endlichen Modelle hat und nicht vollständig ist, ist nach dem Kriterium von Vaught (s. u.) in keiner Kardinalzahl kategorisch. Eine vollständige Theorie, die in keiner Kardinalzahl kategorisch ist, ist die Theorie der diskreten Ordnung ohne Extrema. Sie besteht aus allen Aussagen der Sprache <math>L_I^{\{<\}}</math>, die in <math>\Z</math> gelten.

<math>\Z\times\Z</math> und <math>\Z</math> sind zwei nicht-isomorphe abzählbare Modelle. <math>\R\times\Z</math> und <math>2^\omega\times\Z</math> sind zwei nicht-isomorphe Modelle der Mächtigkeit <math>2^{\aleph_0}</math>. (Jeweils mit der lexikographischen Ordnung, <math>2^\omega</math> ist eine [[Wohlordnung|wohlgeordnete]] [[Ordinalzahl]].)

=== Eine nicht vollständige, aber kategorische Theorie ohne endliche Modelle ===
Dieses Beispiel zeigt, dass im Kriterium von Vaught nicht auf die Abzählbarkeitsvoraussetzung verzichtet werden kann.
Sei <math>I</math> eine überabzählbare Index Menge, <math>a,b \notin I</math>. Für jede natürliche Zahl <math>n</math> sei <math>\varphi_{\ge n}</math> der Satz
: <math>\varphi_{\ge n}:= \exists x_1, \dots , x_n \bigwedge_{1\le k<l \le n}\neg x_k \doteq x_l</math>,
der aussagt, dass es mindestens <math>n</math> unterschiedliche Elemente gibt.

Die von der überabzählbaren Menge
: <math>\{( c_a \doteq c_b \rightarrow (c_a \doteq c_j \wedge c_i \doteq c_j)) \wedge
( \neg c_a \doteq c_b \rightarrow \neg c_i \doteq c_j)| i,j \in I, i \neq j \}\, \cup \, \{\varphi_{\ge n} | n \in \mathbb N \}</math>
erzeugte Theorie hat keine endlichen Modelle und ist <math>\omega</math>-kategorisch, denn in einem abzählbaren Modell müssen alle Konstanten gleich interpretiert werden. Die Theorie ist aber nicht vollständig, da die Aussage
:<math> c_a \doteq c_b </math>
weder widerlegt noch bewiesen werden kann.

== Verallgemeinerungen ==
Die [[Spektralfunktion (Modelltheorie)|Spektralfunktion]] <math>\mathrm{I}(\lambda,\mathrm{T})</math> ordnet einer Theorie und einer Kardinalzahl die Anzahl der nicht isomorphen Modelle dieser Kardinalzahl zu. Das Spektralproblem besteht darin, die Werte dieser Funktion zu finden. Es wird also nicht nur untersucht, wann eine Theorie kategorisch ist, sondern überhaupt gefragt, wie viele nicht-isomorphe Modelle einer bestimmten Mächtigkeit eine Theorie hat.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Kategorizitat}}
[[Kategorie:Modelltheorie]]

Worthülse

2022-06-09T12:34:11Z

132.231.140.164:

Als '''Worthülse''' wird ein sinnentleertes oder ein gedankenlos gebrauchtes [[Wort]] bezeichnet.<ref>Definition nach ''Worthülse''. In: ''Mackensen – Großes Deutsches Wörterbuch''. 11. Auflage. 1986.</ref>

Häufig wird von der „leeren Worthülse“<ref>vgl. das gewählte Beispiel bei duden.de: ''»Toleranz« darf keine leere Worthülse werden'' [https://www.duden.de/rechtschreibung/Worthuelse duden.de] abgerufen am 9. Mai 2012</ref> gesprochen, die – wie die „hohle“ oder „leere Phrase“<ref>vgl. die gewählten Synonyme bei {{Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache |Stichwort=Worthülse |Abruf=2012-05-09}} ''hohle Phrase, leere Phrase''.</ref> – dem Hörer oder Leser leer und damit [[hülse]]n<nowiki />haft erscheint. Es kann sich dabei um Kritik an einem Sprachgebrauch handeln, bei dem Begriffe nur aufgrund ihrer Medienpräsenz oder sonstiger Popularität (gedankenlos) verwendet werden. Ganze Sätze oder Satzteile mit vergleichbaren Eigenschaften werden auch als [[Leerformel]]n kritisiert.

Es können auch Begriffe angesprochen sein, die je nach Rezipienten zu unterschiedlichen Assoziationen einladen, die von späteren Verwendern neu und ggf. in einem abweichenden Sinne interpretiert werden. So spricht [[Fritz Mauthner]] Anfang des 20. Jahrhunderts in Bezug auf [[Georg Wilhelm Friedrich Hegel]] und die „linksstehenden Jung-Hegelianer“ davon, „daß die luftleeren Abstraktionen Hegels Worthülsen boten, in die auch rebellische Gedanken hineingesteckt werden konnten“.<ref>''Geschichte''. In: Fritz Mauthner: ''Wörterbuch der Philosophie''. 1923.</ref>

Die Bezeichnung ''Worthülse'' ist kein fest definierter Begriff und kann selbst als Worthülse betrachtet werden. Was für jemanden als etablierter [[Terminus]] erscheint, kann für andere auch eine sinnlose Worthülse darstellen. Mauthner bezeichnete Worthülsen auch als „leere Termini“.<ref>''Einfluß''. In: Fritz Mauthner: ''Wörterbuch der Philosophie''. 1923.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Floskel]]
* [[Gemeinplatz]]
* [[Wiesel-Wort]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

{{SORTIERUNG:Worthulse}}
[[Kategorie:Rhetorischer Begriff]]

Pfaffsche Determinante

2022-06-09T06:49:32Z

132.231.140.164: /* Geschichte */

In der [[Mathematik]] kann die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] einer [[alternierende Matrix|alternierenden Matrix]] immer als das Quadrat eines [[Polynom]]s der Matrixeinträge geschrieben werden. Dieses Polynom wird die '''pfaffsche Determinante''' der Matrix genannt. Die pfaffsche Determinante ist nur für alternierende <math>(2n \times 2n)</math>-Matrizen nichtverschwindend. In diesem Fall ist sie ein Polynom vom Grad <math>n</math>.

== Definition ==

Sei <math>\Pi</math> die Menge aller [[Partition (Mengenlehre)|Partitionen]] von <math>\{1, 2, \ldots, 2n\}</math> in Paare. Es gibt <math>(2n - 1)!!</math> ([[Doppelfakultät]]) solcher Partitionen. Jedes Element <math>\alpha \in \Pi</math> kann in eindeutiger Weise als
:<math>\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}</math>
geschrieben werden mit <math>i_k < j_k</math> und <math>i_1 < i_2 < \ldots < i_n</math>. Sei

:<math>\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}</math>

die korrespondierende [[Symmetrische Gruppe|Permutation]] und sei
<math>\operatorname{sgn}(\alpha)</math> das [[Vorzeichen (Permutation)|Signum]] von <math>\pi</math>.

Sei <math>A = (a_{ij})</math> eine alternierende <math>(2n \times 2n)</math>-Matrix. Für jede wie oben geschriebene Partition <math>\alpha</math> setze

:<math> A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.</math>

Die pfaffsche Determinante <math>A</math> ist dann definiert als

:<math>\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha</math>.

Ist <math>m</math> ungerade, so wird die pfaffsche Determinante einer alternierenden <math>(m \times m)</math>-Matrix als Null definiert.

=== Alternative Definition ===

Man kann zu jeder alternierenden <math>(2n \times 2n)</math>-Matrix <math>A = (a_{ij})</math> einen [[Graßmann-Algebra|Bivektor]] assoziieren:

:<math>\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j</math>,

wobei <math>\{ e_1, e_2, \ldots , e_{2n} \}</math> die Standardbasis für <math>\R^{2n}</math> ist. Die pfaffsche Determinante ist definiert durch

:<math>\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n}</math>,

hierbei bezeichnet <math>\omega^n</math> das [[Keilprodukt]] von <math>n</math> Kopien von <math>\omega</math> mit sich selbst.

== Beispiele ==

:<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.</math>

:<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.</math>

:<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & & 0\\
-\lambda_1 & 0 & \omega_1 & 0 & & & \\
0 & -\omega_1 & 0 & \lambda_2 & & & \vdots \\
0 & 0 & -\lambda_2 & \ddots & \ddots & & \\
\vdots & & & \ddots & \ddots & \omega_{n-1} &\\
& & & & -\omega_{n-1} & 0 & \lambda_n\\
0 & & \cdots & & &-\lambda_n&0
\end{bmatrix} = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n.</math>

== Eigenschaften ==

Für eine alternierende <math>(2n \times 2n)</math>-Matrix <math>A</math> und eine beliebige <math>(2n \times 2n)</math>-Matrix <math>B</math> gilt

* <math>\mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)</math>

* Für eine blockdiagonale Matrix

::<math>A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}</math>

: gilt <math>\mbox{Pf}(A_1 \oplus A_2) = \mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2)</math>.

* Für eine beliebige <math>(n \times n)</math>-Matrix <math>M</math> gilt:
::<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} =
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.</math>

== Anwendungen ==

Die pfaffsche Determinante ist ein invariantes Polynom einer alternierenden Matrix (Hinweis: Sie ist nicht invariant unter allgemeinen Basiswechseln, sondern nur unter [[orthogonale Gruppe|orthogonalen]] Transformationen). Als solche ist sie wichtig für die Theorie der [[Charakteristische Klasse|charakteristischen Klassen]]. (In diesem Zusammenhang wird sie auch als '''Euler-Polynom''' bezeichnet.) Sie kann insbesondere benutzt werden, um die [[Eulerklasse]] einer [[riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] zu definieren. Diese wird in dem [[Satz von Gauß-Bonnet]] benutzt.

Die Anzahl der [[Paarung (Graphentheorie)|perfekten Paarungen]] in einem [[Planarer Graph|planaren Graphen]] ist gleich dem Absolutwert einer geeigneten pfaffschen Determinante, welche in polynomialer Zeit berechenbar ist. Dies ist insbesondere deshalb überraschend, weil das Problem für allgemeine Graphen sehr schwer ist ([[Sharp-P]]-vollständig). Das Ergebnis wird in der Physik benutzt, um die [[Zustandssumme]] des [[Ising-Modell]]s von [[Spinglas|Spingläsern]] zu berechnen; dabei ist der zugrundeliegende Graph planar. Vor Kurzem wurde sie auch benutzt, um effiziente Algorithmen für sonst scheinbar unlösbare Probleme zu entwickeln; dazu zählt die effiziente Simulation von bestimmten Typen der Quantenberechnungen.

== Geschichte ==

Der Begriff pfaffsche Determinante wurde von [[Arthur Cayley]] geprägt, der ihn 1852 benutzte: “The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term ''Pfaffians''.” Dies geschah zu Ehren des deutschen Mathematikers [[Johann Friedrich Pfaff]].

== Siehe auch ==
* [[Invariantes Polynom]]

== Weblinks ==
* [https://planetmath.org/pfaffian Pfaffian at PlanetMath.org] (englisch)

[[Kategorie:Lineare Algebra]]