Hopf-Cole-Transformation

2022-07-05T14:56:22Z

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Die '''Hopf-Cole-Transformation''' ist eine [[Liste von Transformationen in der Mathematik|mathematische Transformation]], die es erlaubt, die nichtlineare (viskose) [[Burgersgleichung]] auf die lineare [[Wärmeleitungsgleichung]] zurückzuführen und damit zu lösen. Die Transformation wurde 1950 bzw. 1951 von [[Eberhard Frederich Ferdinand Hopf|Eberhard Hopf]] bzw. [[Julian David Cole|Julian Cole]] unabhängig voneinander entdeckt.

== Details ==

Die eindimensionale viskose [[Burgersgleichung]]

:<math>\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

wird durch die Transformation

:<math>u=-2\nu \frac{\partial}{\partial x} \ln(\phi)</math>

in die Wärmeleitungsgleichung

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t}=\nu\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}</math>

überführt. Daraus ergibt sich für die Lösung des [[Cauchy-Problem]]s der ursprünglichen Gleichung folgende Formel:

:<math>u(x,t)=-2\nu\frac{\partial}{\partial x}\ln\left((4\pi\nu t)^{-1/2}\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl[-\frac{(x-x')^2}{4\nu t} -\frac{1}{2\nu}\int_0^{x'}u(x'',0)\, dx''\Bigr]\, dx'\right).</math>

==Verallgemeinerung ==

Etwas allgemeiner wird die semilineare [[parabolische Differentialgleichung]]

:<math>\frac{\partial u}{\partial t} - a \Delta u + b |\mathrm{grad}\, u|^2 = 0</math>

durch die Transformation

:<math>u = - \frac{a}{b} \ln(\phi)</math>

in die Wärmeleitungsgleichung

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t} - a \Delta \phi= 0</math>

überführt.
== Quellen ==
* J. D. Cole: ''On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics.'' In: ''Quart. Appl. Math.'' 9, 1951, S. 225–236.
* L. Debnath: ''Nonlinear partial differential equations for scientists and engineers.'' Birkhäuser, 1997, ISBN 0-8176-3902-0, S. 289–293.
* L. C. Evans: ''Partial Differential Equations.'' American Mathematical Society, 1999, ISBN 0-8218-0772-2, S. 194–195.
* E. Hopf: ''The partial differential equation <math>u_t + uu_x = \mu u_{xx}</math>.'' In: ''Commun. Pure Appl. Math.'' 3, 1950, S. 201–230.

[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]

[[Kategorie:Transformation]]

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